Вводное слово учителя. Постановка цели урока.

Вводное слово учителя. Постановка цели урока.

Учитель: Великий французский ученый Блез Паскаль писал об этой чудесной науке так: «Сочетая строгость научных доказательств с неопределенностью случая и примиряя казалось бы противоположные вещи, и, извлекая ее [новой науки имя] из того и другого, можно по праву присвоить ей ошеломляющее название геометрия случая».

С 2012 года в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике включена задача №4 по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Практика показала, что ряд учащихся испытывает затруднения при решении задач данной тематики, поэтому для успешного решения таких задач на экзамене нам предстоит серьезная работа. Сегодня на уроке мы вспомним и повторим материал по этой теме, решим ключевые типы задач №4, входящие в ЕГЭ.

 

 (Просмотр презентации. Смена слайдов – по щелчку).

 

Теоретический фундамент – повторение основных понятий, формул и правил по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей».

Учитель: Первым делом нам необходимо заложить теоретический фундамент, без которого невозможно успешное решение задач на «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Для этого давайте все вместе вспомним и повторим основные понятия, формулы и правила. (Демонстрация слайдов презентации. Учитель акцентирует внимание учащихся на теоретических аспектах темы).

Определение: Событие, которое может произойти, а может и не произойти, называют случайным событием.

Пример: Попадание или промах при стрельбе по мишени. Элементарные события – простейшие события (исходы), которыми может окончиться случайный опыт.

Событие Ā называется противоположным событию А, если состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые не входят в А.

Два случайных события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно при одном и том же исходе испытания.

Учитель: Иными словами: несовместные события не могут наступить в одном опыте.

Определение (классическое определение вероятности):

 Вероятностью события называется отношение числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.

Обозначение: P(A) – вероятность события А

Формула Лапласа (классическое определение вероятности):

P (A) =  , где

m_a- число благоприятных исходов события А, n – число всех равновозможных исходов.

Замечание: Часто в специальной литературе формула классической вероятности

записывается в таком виде: P =  , где P - вероятность,

k - число благоприятных исходов,

 n - общее число возможных исходов.

Пример.

Андрей, Роман, Максим и Сергей бросили жребий, кому быть вратарем.

Найти вероятность того, что вратарем стал Роман.

Решение:

Пусть событие А = {вратарем стал Роман}.

Число благоприятных исходов k = 1.

Общее число возможных исходов n = 4.

По формуле классической вероятности получаем:

P(A) =  = 0, 25.

Ответ: 0,25

Пример.

Иван Петрович купил билет спортлото.

Он должен зачеркнуть 6 номеров из 49.

Сколько существует способов это сделать?

Решение:

С₄₉⁶ ₌  =

=  = 13 983 816.

(Красным цветом отмечены множители,

которые автоматически сокращаются).

Ответ: 13 983 816 способов

Учитель: Рассмотрим случай повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность того, что событие А наступит ровно раз m при проведении n независимых испытаний, каждое из которых имеет два исхода, обозначается Р _n (m) и вычисляется по формуле Бернулли.

Формула Бернулли:

Р _n (m) = С _n ^m * p^m *(1 – p) ^{n – m} , где

р – вероятность наступления события А в каждом испытании,

m= 0, 2, 3, …, n.

Задание №4 (№ 283483) открытого банка заданий по математике

В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии,

28 из Китая, остальные - из Кореи.

Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием.

Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи.

Решение: Из Кореи выступают 64 – (20 + 28) = 16 спортсменок.

По формуле классической вероятности получим: P =  =  = 0, 25.

Ответ: 0,25

 

Задание №4 (№ 283473) открытого банка заданий по математике

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды.

Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Ответ: 0,25

Учитель: Метод перебора комбинаций крайне неудобен для большого количества бросков, т.к. занимает много времени. Поэтому мы можем пойти другим путем.

Задача.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды.

Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Решение (Способ II):

С₃⁰ =  = 1

P =  =  = 0,125

 

Ответ: 0,125

Ответ: 0,5

 

Задание №4 (№ 283441) открытого банка заданий по математике

В случайном эксперименте бросают две игральные кости.

Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.

Решение:

1. Бросаем первую игральную кость - 6 исходов, для каждого из которых

 возможны еще 6 исходов (когда мы бросаем вторую кость).

Значит, у данного действия (бросание двух игральных костей)

всего имеется n = 6² = 36 возможных исходов.

2. Выписываем все благоприятные исходы в виде пар чисел:

(1;4), (2;3), (3;2), (4;1).

Значит, k = 4 – число благоприятных исходов.

3. По формуле классической вероятности имеем: P =  =  ≈ 0,11.

Ответ: 0,11

Учитель: Для решения данного типа задач (как и для задач на бросание кубика) удобно использовать следующую таблицу:

Числа, выпавшие на гранях	1	2	3	4	5	6
1
2
3
4
5
6

Учитель: Далее рассуждаем аналогично предыдущей задаче.

Задание №4 (№ 283449) открытого банка заданий по математике

В случайном эксперименте бросают три игральные кости.

Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков.

Результат округлите до сотых.

Решение:

1. У данного действия (бросание трех игральных костей)

всего имеется n = 6³ = 216 возможных исходов.

2. Выписываем все благоприятные исходы в виде троек чисел:

(6;6;3), (6;3;6), (3;6;6), (5;5;5), (6;5;4), (5;4;6), (4;6;5).

Значит, k = 7 – число благоприятных исходов.

3. По формуле классической вероятности имеем: P =  ≈ 0,03.

Ответ: 0,03

Учитель: Практика показала, что следующий тип задач вызывает у школьников наибольшие затруднения. Однако здесь нечего бояться. Такие задачи решаются просто.

Ответ: 0,4

 

Задание №4 (№ 320385) открытого банка заданий по математике

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет.  Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

1. А = {вопрос на тему «Вписанная окружность»}

      В = {вопрос на тему «Тригонометрия»}

      С = {вопрос по одной из этих двух тем}

1. События А и В несовместны, т.к. по смыслу задачи нет вопросов, относящихся к двум темам одновременно. Значит, С = A U B.
2. По правилу сложения для несовместных событий имеем:

Р (С) = Р(A U B) = Р(А) + Р(В)  

       Р(С) = 0,1 + 0,35 = 0,45.

Ответ: 0,45

Задание №4 (№ 320435) открытого банка заданий по математике

 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

1. А = {кофе закончится в первом автомате}

      В = {кофе закончится во втором автомате}

      С = A U B = {кофе закончится хотя бы в одном автомате}

1. По условию: Р(А) = Р(В) = 0,2, Р(А ∩ В) = 0,16

3. По смыслу задачи события А и В являются совместными. По формуле сложения вероятностей совместных событий имеем:

Р(С) = Р(A U B) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∩ В) = 0,2 + 0,2 – 0,16 = 0,24.

 

1. Р (A U B) = 1 – 0,24 = 0,76.

Ответ: 0,76

Задание №4 (№ 320477) открытого банка заданий по математике

Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,85. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение:

Вероятность попадания = 0,85.

Вероятность промаха = 1 – 0,85 = 0,15.

А = {попадание, попадание, промах, промах}

События независимые. По формуле умножения вероятностей:

Р(А) = 0,85*0,85*0,15*0,15 = 0,7225*0,0225 = 0,01625625 ≈ 0,02.

Ответ: 0,02

Самостоятельная работа учащихся - решение задач по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в ЕГЭ».

Учащиеся получают индивидуальные задания самостоятельной работы (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1) и выполняют их любым удобным способом на двойных листах в течение 15 минут. Учащиеся, справившиеся со своими заданиями раньше указанного времени, получают новое задание (на дополнительную оценку).

 

5) Проверка результатов самостоятельной работы.

Каждый учащийся обменивается работой со своим соседом по парте. Учащиеся проверяют работу своего товарища, сверяя его ответы с верными ответами, представленными учителем на слайде.

№ варианта	№ задачи
	1	2	3	4	5
1	0,05	0,07	0,35	0,5	0,4
2	0,3	0,03	0,6	0,56	0,43
3	0,04	0,17	0,6	0,78	0,4
4	0,25	0,14	0,3	0,66	0,43
5	0,28	0,07	0,55	0,4	0,4
6	0,1	0,14	0,35	0,34	0,43
7	0,14	0,14	0,55	0,42	0,4
8	0,25	0,08	0,5	0,74	0,4
9	0,1	0,02	0,6	0,4	0,4
10	0,1	0,06	0,45	0,58	0,43
11	0,12	0,08	0,25	0,64	0,43
12	0,24	0,375	0,5	0,76	0,4
13	0,15	0,5	0,3	0,8	0,43
14	0,12	0,0625	0,4	0,54	0,4
15	0,2	0,125	0,45	0,52	0,43

 

Учитель: Ребята, а теперь оцените результаты работы по следующим критериям:

 

«5» - за 5 верных задач

«4» - за 4 верные задачи

«3» - за 3 верные задачи

«2» - если верно выполнено менее 3-х задач

 

Поставьте полученную оценку в работу своего соседа по парте, а собственную оценку -  в свой дневник.

 

6) Домашнее задание.

Учитель: Ребята, для закрепления успехов, достигнутых вами на уроке, а также для устранения допущенных ошибок и пробелов в ваших знаниях по данной теме, на дом вы получаете следующие задания:

  Домашнее задание:

ü Повторить всю теорию по теме.

ü Проанализировать алгоритмы решения всех ключевых задач.

ü Решить в рабочих тетрадях задачи:

 

1) В случайном эксперименте симметричную монету бросают пять раз. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 4 раза.         

2) Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,75. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 4 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

3) В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,03 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Подведение итогов урока.

Учитель: Молодцы! Сегодня вы все активно работали на уроке, прорешали много задач. Но не следует забывать, что для получения глубоких и прочных знаний по предмету и успешной сдачи ЕГЭ по математике каждому из вас необходима систематическая ежедневная учебная работа. Спасибо за урок!

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Задания для самостоятельной работы учащихся

Вариант 1

               

1) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Голландии и 2 прыгуна из Аргентины. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что четырнадцатым будет выступать прыгун из Аргентины.

2) В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

3) На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4) В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5) В кармане у Павла было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане.

Вариант 2

      

1) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Германии и 10 прыгунов из США. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что одиннадцатым будет выступать прыгун из Германии.

2) В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 2 очка. Результат округлите до сотых.

3) На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4) В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5) В кармане у Ольги было 6 монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей. Она, не глядя, переложила 4 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Ответ округлите до сотых.

Вариант 3

1) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 5 прыгунов из Италии и 2 прыгуна из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что двадцать девятым будет выступать прыгун из Парагвая.

2) В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.

3) На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4) В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,18. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5) В кармане у Инны было 4 монеты по 1 рублю и 2 монеты по 2 рубля. Она, не глядя, переложила 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 2 рубля лежат в одном кармане.

Вариант 4

1) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 5 прыгунов из Голландии и 7 прыгунов из Венесуэлы. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что седьмым будет выступать прыгун из Голландии.

2) В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.

3) На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4) В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,25. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.

5) В кармане у Татьяны было 6 монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей. Она, не глядя, переложила 4 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Ответ округлите до сотых.

Вариант 5        

 

1) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 7 прыгунов из России и 10 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что четырнадцатым будет выступать прыгун из России.

2) В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 13 очков. Результат округлите до сотых.

3) На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4) В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,4. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.

5) В кармане у Артура было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане.

 

Вариант 6

             

1) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Италии и 10 прыгунов из Аргентины. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что первым будет выступать прыгун из Италии.

2) В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.

3) На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,1. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4) В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,4. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,14. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.

5) В кармане у Маргариты было 6 монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей. Она, не глядя, переложила 4 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Ответ округлите до сотых.

Вариант 7

             

1) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 7 прыгунов из Италии и 10 прыгунов из Канады. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что двадцать вторым будет выступать прыгун из Италии.

2) В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

3) На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4) В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5) В кармане у Антона было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане.

Вариант 8

                    

1) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 9 прыгунов из Великобритании и 10 прыгунов из Венесуэлы. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что двенадцатым будет выступать прыгун из Венесуэлы.

2) В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков. Результат округлите до сотых.

3) На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,3. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4) В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,14. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5) В кармане у Ангелины было 4 монеты по 1 рублю и 2 монеты по 2 рубля. Она, не глядя, переложила 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 2 рубля лежат в одном кармане.

Вариант 9

1) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 30 спортсменов, среди них 3 прыгуна из Украины и 4 прыгуна из США. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что четвертым будет выступать прыгун из Украины.

2) В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.

3) На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4) В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5) В кармане у Владимира было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане.

Вариант 10

1) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 5 прыгунов из Польши и 2 прыгуна из Венесуэлы. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что шестнадцатым будет выступать прыгун из Венесуэлы.

2) В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 14 очков. Результат округлите до сотых.

3) На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4) В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,18. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5) В кармане у Полины было 6 монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей. Она, не глядя, переложила 4 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Ответ округлите до сотых.

Вариант 11

1) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Украины и 6 прыгунов из Канады. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что тридцатым будет выступать прыгун из Канады.

2) В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.         

3) На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4) В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,14. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5) В кармане у Элины было 6 монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей. Она, не глядя, переложила 4 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Ответ округлите до сотых.

         

Вариант 12

1) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Великобритании и 5 прыгунов из Бразилии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что третьим будет выступать прыгун из Великобритании.

2) В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

3) На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4) В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,2. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.

5) В кармане у Анатолия было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане.

Вариант 13

1) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 3 прыгуна из Голландии и 4 прыгуна из Колумбии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что восьмым будет выступать прыгун из Голландии.

2) В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

3) На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4) В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5) В кармане у Дмитрия было 6 монет по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 4 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Ответ округлите до сотых.

 

Вариант 14

1) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 6 прыгунов из России и 7 прыгунов из Аргентины. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что четвертым будет выступать прыгун из России.

2) В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

3) На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4) В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,14. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5) В кармане у Ивана было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане.

Вариант 15

1) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 45 спортсменов, среди них 2 прыгуна из Испании и 9 прыгунов из Боливии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что девятнадцатым будет выступать прыгун из Боливии.

2) В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

3) На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4) В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5) В кармане у Елены было 6 монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей. Она, не глядя, переложила 4 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Ответ округлите до сотых.

 

Замечание: На практике количество вариантов самостоятельной работы зависит от количества учащихся в классе.

 

 

Вводное слово учителя. Постановка цели урока.

Учитель: Великий французский ученый Блез Паскаль писал об этой чудесной науке так: «Сочетая строгость научных доказательств с неопределенностью случая и примиряя казалось бы противоположные вещи, и, извлекая ее [новой науки имя] из того и другого, можно по праву присвоить ей ошеломляющее название геометрия случая».

С 2012 года в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике включена задача №4 по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Практика показала, что ряд учащихся испытывает затруднения при решении задач данной тематики, поэтому для успешного решения таких задач на экзамене нам предстоит серьезная работа. Сегодня на уроке мы вспомним и повторим материал по этой теме, решим ключевые типы задач №4, входящие в ЕГЭ.

 

 (Просмотр презентации. Смена слайдов – по щелчку).