Тема 3. Наращение и дисконтирование по сложным процентным ставкам.

Тема 3. Наращение и дисконтирование по сложным процентным ставкам.

 

§1.Наращение по сложной процентной ставке.

§2.Изменение процентной ставки во времени.

§3.Начисление процентов за дробное число лет.

§4. Сравнение роста по простым и сложным процентным ставкам. Правило семидесяти двух.

§5. Начисление внутригодовых процентов. Номинальная и эффективная ставки.

§6. Дисконтирование по сложной процентной ставке.

§7. Операции по сложной учетной ставке.

§8. Сравнение процессов интенсивности наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок.

§9. Определение срока ссуды и величины процентной ставки.

§10. Непрерывное наращение и дисконтирование.

 

Наращение по сложной процентной ставке.

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием сложных процентов. Их отличие от простых в том, что база для исчисления процентов меняется на протяжении всего срока финансовой операции за счет периодического присоединения начисленного ранее дохода. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления. Такие расчеты часто называют начислением процентов на проценты, а процедуру присоединения начисленных процентов – их реинвестированием, или капитализацией.

Из-за постоянного роста базы вследствие реинвестирования процентов рост первоначальной суммы денег осуществляется с ускорением. Как правило, сложные проценты применяются в средне- и долгосрочных финансовых операциях.

Если расчет осуществляется по ставке декурсивных процентов i, то формула для определения наращенной суммы через n периодов будет следующей:

FV₁ = PV + PV*i = PV(1+i)

FV₂ = PV(1+i) + PV(1+i)*i = PV(1+i)(1+i) = PV(1+i)²

…

FV_n = PV(1+i)ⁿ

 

(1+i)ⁿ – коэффициент (множитель) наращения по сложным процентам – показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма денег при заданных значениях i  и n. Обычно используется метод 365/365.

 

ПРИМЕР: Ссуда 2 млн.руб. выдана под сложные проценты на 3 года. Процентная ставка 10%. Определить сумму задолженности к моменту погашения.            FV_n = PV(1+i)ⁿ = 2(1+0,1)³ = 2,662 млн.руб.

Изменение процентной ставки во времени.

Неустойчивость кредитно-денежного рынка часто вынуждает кредиторов изменять процентную ставку в течение срока финансовой операции (например, с помощью применения плавающих ставок).

В случае, когда изменения процентных ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных:

 

FV = PV(1+i₁)ⁿ¹ (1+i₂)ⁿ² … (1+i_k)^nk,

 

где i_1, i_{2 …} i_k – последовательные значения ставок;

n₁^, n₂ … n_k – периоды, в течение которых действуют соответствующие ставки.

 

ПРИМЕР: Выдана ссуда в размере 1 млн.руб. Срок ссуды – 5 лет, договорная базовая процентная ставка – 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые 2 года и 0,75% в оставшиеся годы. Сумма к погашению в этом случае составит:

 

FV = 1(1+0,125)² (1+0,1275)³ = 1, 81407 млн.руб.

 

 

Начисление процентов за дробное число лет.

Часто срок в годах для начисления процентов не является целым числом. В этом случае используют 2 метода:

 

1) расчет ведется непосредственно по формуле:      FV_n = PV(1+i)ⁿ  (общий порядок расчета);

 

2) проценты за целое число лет начисляются по схеме сложных процентов, а за дробную часть срока - по формуле простых процентов (смешанный метод):                   FV_n = PV(1+i)^a (1+ib),

где n = a + b – срок ссуды, а – целое число лет, b – дробная часть года.

 

ПРИМЕР: Кредит в размере 3 млн.руб. выдан на 3 года и 160 дней (n = 3 и 160/365 = 3,43836 года) под 16,5% сложных годовых. Рассчитать сумму долга на конец срока.

1) FV = 3 000 000 (1+0,165)^3,43836 = 5 071 935,98 руб.

2) FV = 3 000 000 (1+0,165)³ (1+0,165*0,43836) = 5 086 592,10 руб.

 

Дисконтирование по сложной процентной ставке.

 

Дисконтирование по сложной процентной ставке является процессом, обратным наращению по сложной процентной ставке.

FV = PV(1+ i)ⁿ       =>       PV = FV / (1 + i)ⁿ  =  FV * 1/(1 + i)ⁿ

 

1/(1 + i)ⁿ – дисконтирующий множитель.

 

Для случаев, когда проценты начисляются m раз в году, получим:

PV = FV / (1 + j/m)^mn = FV * 1/(1 + j/m)^mn

 

Величина PV является современной, текущей стоимостью величины FV и может быть рассчитана на любой момент времени до выплаты суммы FV.

 

 

Тема 3. Наращение и дисконтирование по сложным процентным ставкам.

 

§1.Наращение по сложной процентной ставке.

§2.Изменение процентной ставки во времени.

§3.Начисление процентов за дробное число лет.

§4. Сравнение роста по простым и сложным процентным ставкам. Правило семидесяти двух.

§5. Начисление внутригодовых процентов. Номинальная и эффективная ставки.

§6. Дисконтирование по сложной процентной ставке.

§7. Операции по сложной учетной ставке.

§8. Сравнение процессов интенсивности наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок.

§9. Определение срока ссуды и величины процентной ставки.

§10. Непрерывное наращение и дисконтирование.