Дисконтирование по сложной процентной ставке.

 

Дисконтирование по сложной процентной ставке является процессом, обратным наращению по сложной процентной ставке.

FV = PV(1+ i)ⁿ       =>       PV = FV / (1 + i)ⁿ  =  FV * 1/(1 + i)ⁿ

 

1/(1 + i)ⁿ – дисконтирующий множитель.

 

Для случаев, когда проценты начисляются m раз в году, получим:

PV = FV / (1 + j/m)^mn = FV * 1/(1 + j/m)^mn

 

Величина PV является современной, текущей стоимостью величины FV и может быть рассчитана на любой момент времени до выплаты суммы FV.

 

 

Операции по сложной учетной ставке.

 

Учет по сложной учетной ставке. Если в учетных операциях применяют сложную учетную ставку, то процесс дисконтирования происходит с замедлением, т.к. каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме (как при простой учетной ставке), а к сумме, дисконтированной на предыдущем шаге во времени.

PV = FV(1 - d)ⁿ

 

ПРИМЕР: Долговое обязательство на сумму 5 млн.руб., срок оплаты которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом по сложной учетной ставке 15% годовых. Каков размер полученной за долг суммы и величина дисконта (в тыс.руб.)?

PV = 5 000(1 – 0,15)⁵ = 2218,5 тыс.руб. D = 5000-2218,5=2781,5 тыс.руб.

 

Если применить простую учетную ставку того же размера, то

PV = 5 000(1 – 5*0,15) = 1250 тыс.руб. D = 5000 - 1250 = 3750 тыс.руб.

PV представляет собой текущую сумму долга. Очевидно, что для должника выгоднее использование простой дисконтной ставки.

 

Наращение по сложной учетной ставке. Иногда наращенную сумму получают и с помощью сложной учетной ставки.

FV = PV / (1 - d)ⁿ = PV * 1/(1 - d)ⁿ

Множитель наращения в этом случае равен 1/(1 - d)ⁿ .

 

 

Сравнение процессов интенсивности наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок.

 

Для наращения и дисконтирования могут использоваться ставки i_s, i, d_s, d (индекс s означает простую схему начисления процентов). При одинаковых исходных суммах их применение приводит к различным результатам. Чтобы сравнить результаты наращения по различным ставкам, достаточно сопоставить соответствующие множители наращения. Они соотносятся между собой следующим образом:

при 0 < n < 1

(1 + i)ⁿ    < 1 + ni_s < 1/(1-nd_s) < 1/(1-d)ⁿ

 

при n = 1

1 + i = 1 + i_s   < 1/(1-d_s) = 1/(1-d)

 

при n > 1

1 + ni_s < (1 + i)ⁿ    < 1/(1-d)ⁿ < 1/(1-nd_s)  

 

Соотношения для дисконтных множителей будут следующими:

при 0 < n < 1

(1-d)ⁿ < 1-nd_s < 1/(1 + ni_s) < 1/(1 + i)ⁿ        

 

при n = 1

1-d =1-d_s < 1/(1 + i_s) = 1/(1 + i)

 

при n > 1

1-nd_s < (1-d)ⁿ <  1/(1 + i)ⁿ     < 1/(1 + ni_s)        

 

Определение срока ссуды и величины процентной ставки.

 

Срок ссуды. При наращении по сложной годовой ставке i и по номинальной ставке j исходя из формул FV = PV(1+i)ⁿ  и FV = PV(1+j/m)^mn получим:

n = ln (FV/PV) / ln(1+i)

n = ln (FV / PV) / m * ln (1+ j / m)

 

При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d, исходя из формулы PV = FV(1-d)ⁿ , получим:

n = ln (PV/FV) / ln(1-d)

 

ПРИМЕР: За какой срок в годах сумма, равная 75 млн.руб., достигнет 200 млн.руб. при начислении по сложной ставке 15% раз в году и поквартально?

n = ln (200/75) / ln (1+0,15) = 7,0178 года.

n = ln (200/75) / 4*ln (1+0,15/4) = 6,6607 года.

 

Величина процентной ставки. Из тех же исходных формул наращения и дисконтирования по сложным ставкам выразим значения ставок:

i = ,

j = m ,

d =