Определение перемещений в статически

 ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ

 

Литература: [1] §5.4-5.6; [2] §104-107; [3] §38-40; [4] §VIII.3-VIII.4; [5] §6.1; [11] §5.6,5.7; [12] §3.2.

Задача 4.1 Для балок, схемы которых изображены на рис. 4.1, определить способом Верещагина вертикальное перемещение Δ или угол поворота φ одного из указанных сечений. Жесткость балки на изгиб EJ=4ּ10⁵ Н ּм². Остальные данные взять из табл. 4.1.

      Таблица 4.1

 

№ строки	Номер схемы		P кН	q кН/м	М кН ּм	l 1 м	l 2 м	l 3 м	Номер сечения	Вид перемещения
	Вариант А	Вариант В
1	1	11	10	1	0	8	6	1	1	φ
2	2	12	0	3	6	10	4	3	2	Δ
3	3	13	8	4	0	6	2	2	3	φ
4	4	14	0	2	8	4	3	1	2	Δ
5	5	15	12	1	0	8	6	3	1	φ
6	6	16	0	4	12	5	5	2	3	Δ
7	7	17	4	2	0	4	4	1	1	φ
8	8	18	0	3	10	6	3	2	2	Δ
9	9	19	6	4	0	5	5	3	2	φ
0	10		0	2	14	10	6	2	1	Δ
	Е		д	е	д	е	е	д	д	е

 

  Пример выполнения задачи 4.1. Для балки, изображенной на

рис. 4.2, а, определить вертикальное перемещение сечения 1 и угол поворота сечения 2. Жесткость балки на изгиб постоянна и равна EJ = 5ּ10² кН ּм². Остальные данные показаны на рисунке.

  Решение. Определение перемещений от действия внешней нагрузки в стержневых системах, работающих на изгиб, проводится с помощью интеграла Мора

 

                ,               (4.1)

который при постоянной на участках изгибной жесткости удобнее вычислять способом Верещагина

  

 

 

     .    (4.2)

     

 

 

В формулах (4.1) и (4.2): и  – выражения изгибающих моментов в произвольном сечении i -го рассматриваемого участка от действия заданной внешней нагрузки и обобщенного усилия , приложенного в направлении искомого обобщенного перемещения Δ_кр; ω _i - площадь эпюры  и лежат по одну сторону оси стержня, то произведение ω _i y_i берется со знаком "+", а если они лежат по разные стороны. то произведение ω _i y_i принимает знак "–".

Для определения вертикального перемещения сечения 1 необходимо построить эпюру  от действия внешней нагрузки (рис. 4.2, б) и эпюру от действия силы , приложенной вертикально в точке 1 (рис. 4.2, в). При определении угла поворота сечения в точке 2 строится эпюра  от действия единичного изгибающего момента , приложенного в точке 2 (рис. 4.2, г). Построение указанных эпюр моментов проводим с помощью метода сечений, предварительно определяя реакции, возникающие в опорах (см. контрольную работу №1). При определении на участках площадей эпюры М_р и положения их центров тяжести воспользуемся табл. 4.2, в которой приведены наиболее часто встречающиеся случаи. Более сложные фигуры могут быть получены из приведенных путем их разбиения на простые.

                                                                                                  Таблица 4.2

 

№ п/п	Положение центра тяжести и площади фигур	№ п/п	Положение центра тяжести и площади фигур
1		2
3		4
5

 

Число участков по построенным эпюрам равно четырем (их номера показаны на рис. 4.2, а). При этом на втором участке криволинейную фигуру эпюры М_р разобьем на треугольник и параболический сегмент (рис. 4.2, б) а на четвертом участке– трапецию на два треугольника. Найдем по участкам площади фигур эпюры М_р

             , , ,    

             , ,

и соответствующие ординаты y_i  на эпюре  под их центрами тяжести

                   , , , ,

                  , .

Подставляя найденные значения площадей  эпюры М_р и ординаты y_i эпюры  в формулу (4.2) и учитывая взаимное расположение указанных эпюр (или знаки произведений ), определим вертикальное перемещение точки 1

Следует отметить, что на 4-м участке произведение  может быть вычислено с помощью формулы "перемножения" трапеции (табл. 4.2, №5)

                .

Найденное значение перемещений точки 1 имеет знак "–". Следовательно. точка 1 перемещается вверх, в сторону, противоположную действию единичной силы .

Для определения угла поворота φ₂ сечения 2 вычислим ординаты y_i на построенной от действия единичного момента  эпюре (рис. 4.2, г):

 

                    , , , ,

                   , .

и, используя выше найденные значения площадей ω _i, фигур эпюры, М_р, по формуле (4.2) получаем