Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2019-08-07 | 173 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
Из курса математики средней школы известны такие понятия, как натуральные числа, целые числа, рациональные и иррациональные. Все перечисленные множества чисел являются подмножествами множества действительных чисел.
Рассмотрим алгебраическое уравнение второй степени . Оно равносильно уравнению .
Ясно, что последнее уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.
Для Возможности решения подобных уравнений необходимо дальнейшее расширение понятия «числа».
Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.
Представим число в виде
,
т.е. в виде суммы действительного числа и чисто мнимого .
Определение. Форма записи
Называется алгебраической формой записи комплексного числа.
Она позволяет производить операции сложения и умножения комплексных чисел по обычным правилам алгебры многочленов.
Примеры: 1) Вычислить , если , , .
Решение:
2) Найти произведение комплексного числа на действительное число .
Решение: Действительное число можно записать в виде , тогда по правилу умножения .
Определение. Комплексное число называется комплексно сопряженным числу .
Ясно, что и если , то .
Найдем произведение , т.е. произведение взаимносопряженных комплексных чисел есть всегда действительное число.
Из определения комплексно сочетательных чисел легко получить выражение , .
Операция вычитания и деления комплексных чисел определяются на основание определенных операций сложения и умножения.
Вычитании - действие обратное сложению.
Определение. Комплексное число называется разностью и , т.е. , если, .
|
Отсюда, если , , ,
то , ,
или , .
Итак, ,
т.е. вычитание комплексных чисел производится по правилу вычитания многочленов.
деление – действие, обратное умножению.
Определение. Комплексное число называется частным от деления на , т.е. , если . Для получения алгебраической формы записи результата деления умножим две части последнего равенства на
Теперь умножим обе части этого равенства на действительно число
получим, ,
т.е.
.
Пример. Вычислить , если .
Решение:
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
Из курса математики средней школы известны такие понятия, как натуральные числа, целые числа, рациональные и иррациональные. Все перечисленные множества чисел являются подмножествами множества действительных чисел.
Рассмотрим алгебраическое уравнение второй степени . Оно равносильно уравнению .
Ясно, что последнее уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.
Для Возможности решения подобных уравнений необходимо дальнейшее расширение понятия «числа».
Аксиоматика комплексных чисел.
Комплексное число характеризуется упорядоченной парой действительных чисел . Это условие записывается Числа называются компонентами. Первая компонента x называется действительной частью комплексного числа и обозначается , вторая – мнимой частью комплексного числа и обозначается .
По определению полагают комплексное число .
Определение. Два комплексные числа и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. .
В частности .
Замечание. Отношение «больше», «меньше» для комплексных чисел не определены. Действия сложения и умножения комплексных чисел определяется аксиоматически.
Определение. Суммой комплексных чисел и называется комплексное число , где , т.е. , иначе говоря, сложение комплексных чисел выполняется покомпонентно.
Из определения ясно (проверить самостоятельно), что для операции сложения комплексных чисел сохраняются законы сложения, имеющие место для действительных чисел, а именно –
|
а) переместительный (коммутативности)
б) сочетательный (ассоциативности)
Так же как и для действительных чисел верно равенство . Очевидно (доказать самостоятельно), что существует единственное комплексное число , обладающее этим свойством.
Пример: Найти сумму двух чисел и .
Решение: .
Определение. Произведением комплексных чисел и
называется комплексное число
.
Умножение подчиняется законам (убедиться самостоятельно):
а) переместительному (коммутативности)
б) сочетательному (ассоциативности)
в) распределительному (дистрибутивности) относительно суммы
.
Пусть , . Найдем и . По определению операций сложения и умножения комплексных чисел
.
Таким образом операции сложения и умножения комплексных чисел , , у которых мнимая часть равна нулю, сводится к операциям сложения и умножения действительных чисел и . Это позволяет отождествить пару с действительным числом и ввести обозначение . В частности .
Из сказанного следует, что множество всех действительных чисел можно рассматривать как часть (или подмножество) множества комплексных чисел.
Найдем произведение комплексного числа на действительную единицу.
,
то есть умножение на действительную единицу не меняет комплексного числа.
Рассмотрим комплексное число . В силу определения произведения комплексных чисел .
Определение. Комплексное число называется мнимой единицей и обозначается символом , т.е. .
Из предыдущего рассмотрения получаем
.
Комплексное число вида называется чисто мнимым. Покажем, что . Действительно, .
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!