Доказательство №1 (простейшее)

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема.

В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ΔABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

Доказательство №2

Пусть Т - прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. а). Докажем, что с²=а²+Ь².

Построим квадрат Q со стороной а+Ь (рис. б). На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ с катетами а и b. Четырехугольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р - квадрат со стороной с.

Все треугольники Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые.

Пусть a и b - величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, a+b = 90°. Угол при вершине А четырехугольника Р вместе с углами, равными a и b, составляет развернутый угол. Поэтому a+b =180°. И так как a+b = 90°, то g=90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р - квадрат со стороной с.

Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T).

Так как S(Q)=(a+b)²; S(P)=c² и S(T)=½a*b, то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство (a + b)² = c² + 4*½a*b. Поскольку (a+b)²=a²+b²+2*a*b, то равенство (a+b)²=c ²+4*½a*b можно записать так: a²+b²+2*a*b=c² +2*a*b.

Из равенства a²+b²+2*a*b=c²+2*a*b следует, что с²=а²+Ь².
       Что и требовалось доказать.

Доказательство №3

Пусть ΔАВС - данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С.

По определению косинуса угла (Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC². Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС². Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим: АС²+ВС²=АВ(AD + DB)=АВ². Теорема доказана.

Доказательство №4

Площадь прямоугольного треугольника: S=½*a*b или S=½(p*r) (для произвольного треугольника);
p - полупериметр треугольника; r - радиус вписанной в него окружности.
r = ½*(a + b - c) - радиус вписанной в любой треугольник окружности.
½*a*b = ½*p*r = ½(a + b + c)*½(a + b - c);
a*b = (a + b + c)*½(a + b - c);
a + b=x;
a*b = ½(x + c)*(x - c)*a*b = ½(x²-c²)
a*b = ½(a² + 2*a*b + b² - c²)
a² + b² - c² = 0, значит
a² + b² = c²

Доказательство №5

Дано: ΔАВС - прямоугольный треугольник, AJ - высота, опущенная на гипотенузу BCED - квадрат на гипотенузе ABFH и ACKJ - квадраты построенные на катетах.

Доказать: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (Теорема Пифагора).

Доказательство: 1. Докажем, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, ΔABD=ΔBFS (по двум сторонам и углу между ними BF=AB; BC=BD; угол FBS=ABD).Но! S_ΔABC=½S_BJLD, т.к. у ΔABC и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично S_ΔFBS=½S_ABFH (BF -общее основание, AB - общая высота). Отсюда, учитывая, что S_ΔABD= S_ΔFBS, имеем: S_BJLD=S_ABFH. Аналогично, используя равенство треугольника ΔBCK и ΔACE, доказывается, что S_JCEL=S_ACKG. Итак, S_ABFH+S_ACKJ=S_BJLD + S_BCED.

В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой. Рассмотрим несколько элементарных примеров таких задач, в которых при решении применяется теорема Пифагора.

Доказательство №6

АВС – данный треугольник с LC=90 градусов. Проведем высоту CD из вершины LС. По определению косинуса L cos A= AD:AC = AC:AB. Отсюда AB * AD = AC в квадрате. Аналогично, cos B = BD:BC = BC:AB. Отсюда AB * BD = BC в квадрате. Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD + DB = AB, получим: AC в квадрате + BC в квадрате = AB (AD + DB) = AB в квадрате. Теорема доказана. Из теоремы Пифагора следует, что В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. Отсюда, в свою очередь, следует, что cos a меньше 1 для любого острого угла a

Доказательство №7

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами BC и AC, гипотенузой AB. Докажем, что  АВ в квадрате = АС в квадрате + ВС в квадрате.
Достроим треугольник до квадрата со стороной AC + ВС так, как показано на слайде. Sквадрата = (AC + BC) в квадрате. С другой стороны, этот квадрат составлен из 4-х равных прямоугольных треугольников, S каждого из них = (AC + BC): 2 и квадрата, со стороной AB, поэтому
S= 4 * ½ BC * AC + AB в квадрате=2 * BC * AC + AB в квадрате.
Таким образом,
AC в квадрате + BC в квадрате = 2 * AC * BC + AB в квадрате,
откуда
 AB в квадрате = АС в квадрате + ВС в квадрате.
Теорема доказана.

Обратная теорема

Пусть в треугольнике АВС АВ в квадрате = АС в квадрате + ВС в квадрате. Докажем, что LС прямой. Рассмотрим прям. треугольник A1 B1 C1 с LC1=90 градусов, у которого А1 С1 = АС и В1 С1 = ВС. По теореме Пифагора, А1 В1 в квадрате = А1 С1 в квадрате + В1 С1 в квадрате, и, значит, А1 В1 в квадрате = АС в квадрате + ВС в квадрате.

Но АВ в квадрате = АС в квадрате + ВС в квадрате по условию теоремы. Следовательно, А1 В1 в квадрате = АВ в квадрате, откуда А1 В1 = АВ. Треугольники АВС и А1 В1 С1 равны по 3-му признаку равенства треугольников, поэтому LС1 = LC,т.е. АВС является прямоугольным треугольником. Теорема доказана.

Египетский треугольник

Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.

Особенностью такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями.

Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII - V веках до н. э, греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к доказательству знаменитой теоремы.

Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.

Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.

В архитектуре средних веков египетский треугольник применялся для построения схем пропорциональности.

Тайна египетского треугольника в … молекуле воды!

В химии формула молекулы воды Н2О также популярна, как в математике 2 * 2 = 4. Молекула состоит из одного атома кислорода и двух атомов водорода. Каждый из этих атомов в отдельности выглядит графически так, как показано на рис. 1 а. У атома кислорода на внешней орбите всего шесть электронов, а для полного счастья ему не хватает еще двух, чтобы получился полный комплект: восемь электронов. Первым кандидатом на занятие свободных мест является электрон водорода. И все потому, что водород — самый распространенный элемент во Вселенной и самый вездесущий. Так. путем присоединения двух атомов водорода, и образуется выдающееся творение Создателя - молекула воды (рис. 1, б). Но вот что странно: эти два атома водорода не нашли ничего лучшего, как расположиться с одной стороны атома кислорода. Тем самым они создали в этом районе молекулярного пространства избыток положительных зарядов, определяемых протонами — зарядами своих ядер. Для компенсации положительных зарядов кислороду пришлось сосредоточить с противоположной стороны своего атома четыре электрона, создав тем самым отрицательный заряд. Так молекула стала диполем, то есть молекулой с двумя разноименными полюсами. Условно это можно представить так, как показано на рис. 1, в. Дипольная структура молекулы воды во многом определяет необычные свойства жидкости.

 

Рис. 1. Геометрия молекулы воды
а - атом водорода с одним электроном и атом кислорода с шестью электронами на внешней орбите,
б - два aтома водорода и один атом кислорода образовали молекулу воды. В ней с одном стороны избыток положительных зарядов, а с противоположной избыток отрицательных. Так у молекулы образуются два противоположных по знаку полюса. Из-зa чтого ее называют диполем.
в - общий вид диполя молекулы воды.
г - размеры молекулы воды в ангстремах для парообразного состояния.

Для нас очень важно, как располагаются относительно друг друга ядра атомов водорода и кислорода. В молекуле воды они образуют равнобедренный треугольник, длина сторон которого и угол между ними изменяются в некоторых пределах при изменении окружающих условии.

Где-то здесь, среди геометрических рисунков молекул воды и льда спрятан знаменитый египетский треугольник. Попробуем разделить пополам угол, образованный равными сторонами треугольника. Получим: 104°27': 2 = 52°13', 105°03': 2 = 52°31', 109,5°: 2 = 54°32'. Как известно, угол в египетском треугольнике немного другой: 53°08'. Но он так близок. Не почувствовать, не ощутить его присутствие, — значит, не увидеть бревно в глазу. Здесь, где-то вблизи перехода в ледяной кристалл, когда структура воды приближается к закономерному строению кристаллического тела, находится египетский треугольник. Даже грубые расчеты указывают на это. Если, например, использовать геометрию молекулы воды для низшего колебательного уровня угол соответствует 53°08'. Полученная величина ровно столько, сколько в египетском треугольнике. Значит, многое зависит еще и от точности измерения геометрических параметров молекулы воды. Или от изотопного состава воды. И даже от тех. кто увидел в ней математическую фигуру —прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5, который точно или почти точно соответствовал неповторимому образу молекулы воды в определенном состоянии.

А теперь подведем некоторые итоги. Они очень важные. Становится понятным, что знаменитый египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 «взят» из молекулы воды. Сама же геометрия молекулы воды образована двумя египетскими прямоугольными треугольниками, имеющими общий катет с соотношением стороны равным 3 (рис. 2, в). Истинным создателем молекулы воды, а значит и египетского треугольника, является сама природа. Именно поэтому в них и заложена та гармония, которая присуща всему космосу, и которая выражается, в частности, свойствами золотого сечения. Только этим можно объяснить, почему древние египтяне обожествляли числа 3,4, 5, а сам треугольник считали священным и буквально «нянчились» с ним, как с младенцем, стараясь заложить в любую конструкцию, в пирамиды, даже в разметку полей его божественные свойства, его гармонию.

 

Рис. 2. Геометрия и размеры молекулы воды для различных состояний а - для парообразного состояния б - для низшего колебательного уровня в - для уровня, близкого к образованию кристалла льда, когда геометрия молекулы воды соответствует геометрии двух египетских треугольников с соотношением сторон 3: 4: 5 г - для состояния льда.

 

А он, в свою очередь, указал нам на молекулу воды. Ну, а молекула воды вообще не стала ничего скрывать: она показала нам на главного зачинщика, на космос. Вот и ищи ветра в поле... то есть в космосе. Пока же отметим, что мы имеем некую цепочку, где каждое предыдущее звено даёт информацию о последующем звене: пирамиды скрывают в себе информацию о треугольнике, треугольник —о молекуле воды, молекула -— о космосе... Как тут не вспомнить известные русские сказки про Кощея Бессмертного, содержание которых построено по тому же принципу. В них как бы зашифрован ответ на многие тайны природы. Судите сами. Жизнь и смерть Кощея заключена в игле. Игла спрятана в яйце, яйцо - в утке, утка — в зайце, а заяц — в ларце. Вот и попробуй раздобудь эту иглу, в которой, как в воде, заключена и жизнь и смерть.

И наконец, самый важный итог. Хотим мы того или не хотим, но нам придется признать, что изобретатели египетского треугольника знали молекулярную химию! И ясно одно: мы открываем заново то, что было давно открыто.

В химии формула молекулы воды Н2О также популярна, как в математике 2 * 2 = 4. Молекула состоит из одного атома кислорода и двух атомов водорода. Каждый из этих атомов в отдельности выглядит графически так, как показано на слайде. У атома кислорода на внешней орбите всего шесть электронов, а для полного счастья ему не хватает еще двух, чтобы получился полный комплект: восемь электронов. Первым кандидатом на занятие свободных мест является электрон водорода, и все потому что он — самый распространенный элемент во Вселенной. Так, путем присоединения двух атомов водорода, и образуется выдающееся творение - молекула воды. Но вот что странно: эти два атома водорода не нашли ничего лучшего, как расположиться с одной стороны атома кислорода. Тем самым они создали в этом районе молекулярного пространства избыток положительных зарядов, определяемых протонами — зарядами своих ядер. Для компенсации положительных зарядов кислороду пришлось сосредоточить с противоположной стороны своего атома четыре электрона, создав тем самым отрицательный заряд. Так молекула приобрела два разноименных полюса. Условно это можно представить так, как показано здесь же. Дипольная структура молекулы воды во многом определяет необычные свойства жидкости.

В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой. Рассмотрим несколько элементарных примеров таких задач, в которых при решении применяется теорема Пифагора.

Применение Теоремы Пифагора

Строительство

Окно

В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине ширины (b/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p.

По теореме Пифагора имеем:
(b/4+p)=(b/4)+(b/4-p)
или
b/16+ b*p/2+p=b/16+b/4-b*p+p,
откуда
b*p/2=b/4-b*p.
Разделив на b и приводя подобные члены, получим:
(3/2)*p=b/4, p=b/6.

 

 

Молниеотвод

Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.
Решение:
По теореме Пифагора h² ≥ a²+b², значит h ≥ (a²+b²)^½.
Ответ: h ≥ (a²+b²)^½

Астрономия

На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой.

Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB символом l, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой c, то наше уравнение примет вид

c * t = l

Очевидно? Это ведь произведение затраченного времени на скорость!

Теперь попробуем взглянуть на то же самое явление из другой системы отсчета, с другой точки зрения, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v. Раньше мы поняли, что при таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C.

Вопрос: на сколько успеет сместится точка (чтобы превратиться в точку C), пока путешествует световой луч? Точнее, опять спросим о половине данного смещения! Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t', а половину расстояния AC буквой d, то получим наше уравнение в виде:

v * t' = d

Буквой v обозначена скорость движения космического корабля. Опять очевидно, не правда ли?

Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света? (Точнее, чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта?)

Если обозначить половину длины пути света буквой s, то получим уравнение:

c * t' = s

Здесь c - это скорость света, а t' - это тоже самое время, которые мы рассматривали на формулы выше.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник, высота которого равна l. Да-да, тому самому l, которое мы ввели при рассмотрении процесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит перпендикулярно l, то оно не могло повлиять не нее.

Треугольник ABC составлен из двух половинок - одинаковы прямоугольных треугольников, гипотенузы которых AB и BC должны быть связаны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов - это d, которое мы рассчитали только что, а второй катет - это s, который проходит свет, который мы тоже рассчитали.

Получаем уравнение:

s² = l² + d²

Это ведь просто теорема Пифагора, верно?

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы которые долгое время считались искусственными) и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.

Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

Мобильная связь

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например радиусе R=200 км?, если известно. что радиус Земли равен 6380 км.)

Решение:
Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.
OB = OA + AB
OB = r + x
Используя теорему Пифагора, получим ответ.
Ответ: 2,3 км.