Стационарное уравнение Шредингера. Микрочастица в прямоугольной потенциальной яме. Одномерный гвантовый гармонический осциллятор. Спектральные серии атома водорода.

 

Часто встречаются задачи, когда частица движется в стационарном внешнем поле, и ее потенциальная энергия не зависит явно от времени. В этом случае состояние частицы можно описать волновой функцией , зависящей только от координат, которая является решением стационарного уравнения Шредингера:

                         ,         (5.1)

где                                       (5.2)

– оператор Лапласа (в декартовой системе координат), m и Е – масса и полная энергия частицы,  – ее потенциальная энергия. Таким образом  – кинетическя энергия частицы.

Разрешенные значения энер­гии микрочастицы в одномерной прямоугольной потенци­альной яме шириной a с бесконечными стенками определяются формулой

   ,    (5.3)

где n = 1,2,3...,

 

при этом собственная волновая функция частицы задается выражением:                 

   При поглощении фотона с энергией  электрон может перейти на вышележащий уровень энергии (см. рис.5.1). Такой переход называется возбуждением электрона. При переходе с верхних возбужденных уровней на более низкие уровни энергии электрон испускает фотон с энергией

                                 ,                        (5.4)

где  – энергия верхнего уровня, с которого осуществляется переход,  – энергия уровня, на который переходит электрон. Эти энергии определяются по формуле (5.3), подставляя в нее номера уровней  и .

   Разрешенные значения энергии одномерного квантового гармонического осциллятора определяются формулой

   , (5.5)

где n = 0, 1, 2,  – собственная циклическая частота квантового осциллятора.

   Энергия фотона, испущенного осциллятором при переходе из какого-либо возбужденного состояния в нижележащее, определяется формулами (5.4) и (5.5).

   Спектр водородоподобных атомов может быть разделен на наблюдающиеся на опыте спектральные серии, соответсвующие переходам электрона на определенный уровень энергии со всех лежащих выше возбужденных энергетических уровней. Соответствующие переходы между боровскими орбитами в атоме водорода показаны на рис.5.3.

серия Лаймана – ;

серия Бальмера –    ;

серия Пашена – ;

Энергия фотона, излученного при переходе электрона с уровня  на уровень , определяется формулой (5.4).

   Разрешенные значения энергии электрона в водородоподобном атоме определяются формулой (4.10)

                                 ,                              (5.6)

где n = 1, 2, 3...,  – энергия электрона в основном состоянии.

 

   5.1. Волновая функция микрочастицы с массой m = 2,5×10^–29 кг имеет вид: . Найти полную энергию частицы (в эВ), считая потенциальную энергию равной нулю.

Принять  Дж×с; a = 4×10¹⁰ м^–1; b = 6×10¹⁰ м^–1; g = 2×10¹⁰ м^–1.

             Ответ: 3 эВ

   5.2. Микрочастица в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины а  с бесконечными стенками находится в третьем возбужденном состоянии. С какой вероятностью частицу можно обнаружить в левой части ямы с координатами 0 £ x £ a /16?

                         Ответ:

   5.3. Микрочастица с массой кг находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками и переходит с некоторого возбуждённого уровня энергии на соседний разрешённый уровень энергии, испуская при этом фотон с энергией Е _ф = 3,5 эВ. Если частица перейдёт затем на следующий разрешённый уровень, то она испустит второй фотон, энергия которого в 1,4 раза меньше, чем энергия первого. Найти ширину а потенциальной ямы. Ответ:

   5.4. Находясь в основном состоянии, одномерный квантовый гармонический осциллятор поглотил фотон с энергией Е = 9 эВи оказался в третьем возбужденном состоянии. Найти наименьшую частоту фотона, который может быть излучен этим осциллятором. Постоянная Планка  Дж×с Ответ: 7,24×10¹⁴ Гц

   5.5. Некоторое разрешённое значение Е энергии одномерного квантового гармонического осциллятора в 5 раз больше его возможной наименьшей энергии. Найти величину Е (в эВ), если максимальная длина волны фотона, испускаемого осциллятором, l = 9 мкм          Ответ:  эВ.

   5.6. Во сколько раз максимальная длина волны фотона из серии Бальмера меньше минимамальной длины волны фотона из серии Пашена в спектре излучения этого атома? Ответ: в 1,25 раза

Качественные задачи

   5.7к. Из предложенных утверждений:

1) уравнение стационарно;

2) уравнение соответствует трехмерному случаю;

3) уравнение характеризует состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном потенциальном ящике;

4) уравнение характеризует движение частицы вдоль оси ОХ под действием квазиупругой силы, пропорциональной смещению частицы от положения равновесия,

являются справедливыми для уравнения Шредингера

...

а) 2, 3 б) 1,4 в) 1,3 г) 1,2

   5.8к. На рисунке изображена схема энергетических уровней атома водорода. Показаны состояния с различными значениями орбитального квантового числа. Серию Бальмера дают переходы...

а)

б)

в)

г)

д)    е)

   5.9к. На рисунке дана схема энергетических уровней атома водорода, а также условно изображены переходы электрона с одного уровня на другой, сопровождающиеся излучением кванта энергии. В ультрафиолетовой области спектра эти переходы дают серию Лаймана, в видимой области – серию Бальмера, в инфракрасной области – серию Пашена и т.д.

   Отношение минимальной частоты серии Лаймана к максимальной частоте серии Бальмера равно...

а) 7,2 б) 5,4 в) 3 г) 4

   5.10к. Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид: , где  – потенциальная энергия микрочастицы. Электрону в атоме водорода соответствует уравнение...

а)    б)

в)   г)

   5.11к. Частица находится в потенциальном ящике шириной  с бесконечно высокими стенками в определенном энергетическом состоянии  с квантовым числом . Известно, что . В этом случае  равно...    а) 4 б) 2 в) 5 г) 3

 

Задачи для самостоятельной работы.

5.1с. Волновая функция микрочастицы с массой m = 2,5×10^–29 кг имеет вид: , где i – мнимая единица. Найти полную энергию частицы (в эВ), считая потенциальную энергию равной U = 6 эВ. Принять  Дж×с; a = 4×10¹⁰ м^–1;

b = 6×10¹⁰ м^–1; g = 2×10¹⁰ м^–1.

5.2с. Микрочастица с массой m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками шириной а. Постоянная Планка  Дж×с. Энергия микрочастицы на втором возбужденном уровне равна Е = 36 эВ.

Найти длину волны излученного фотона (в нм) при переходе микрочастицы в основное состояние.

   5.3с. Находясь в первом возбужденном состоянии, одномерный квантовый гармонический осциллятор поглотил фотон с энер­гией Е = 8 эВи оказался в третьем возбужденном состоянии.

Найти наибольшую длину волны фотона (в нм), который может быть излучен этим осциллятором.

   5.4с. Во сколько раз минимальная частота фотона из серии Лаймана больше максимальной частоты фотона из серии Бальмера в спектре излучения атома водорода?

Занятие 6.