Волновая функция и ее физический смысл.

   Спектральная излучательная способность (или спектральная плотность энергетической светимости)  – энергия, излученная нагретым телом в единицу времени с единицы площади в единичном диапазоне частот  при заданной температуре Т. Функцию спектральной излучательной способности можно выразить через длину волны  (см. рис.4.1) и определить ее как энергию, излученную с единицы площади в единицу времени в единичном диапазоне длин волн. Независимо от определения полную излученную энергию во всем диапазоне частот или длин волн можно найти как сумму вкладов в каждом диапазоне:

   Энергетическая светимость (или интегральная излучательная способность) – энергия, излученная нагретым телом в единицу времени с единицы площади во всем диапазоне частот (или длин волн). Графически интегрирование спектральной излучательной способности – это нахождение площади под кривой  или  (рис.4.1).

   Спектральная поглощательная способность а _{w Т} – функция, зависящая от частоты и температуры, определяемая как отношение поглощенной телом энергии в узком интервале частот к энергии, падающей на тело в том же интервале частот при той же температуре. У абсолютно черного тела  и не зависит ни от частоты, ни от температуры. Для серого тела .

   Закон Стефана-Больцмана: энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна абсолютной температуре в четвертой степени, т.е.

                                        ,                   (4.1)

где  – постоянная Стефана-Больцмана.

   Для произвольного тела можно записать аналогичное выражение:                                ,          (4.2)

где   – коэффициент черноты (или коэффициент серости) в общем случае зависит от температуры. Для серого тела коэффициент черноты не зависит от температуры и совпадает с его спектральной излучательной способностью .

   Закон Вина: длина волны, на которую приходится максимум спектральной излучательной способности абсолютно черного тела (см. рис.4.1), обратно пропорциональна абсолютной температуре этого тела, т.е.            ,                           (4.3)

где b = 2,9∙10^–3 м∙К – постоянная Вина.

Гипотеза де Бройля: если электромагнитное излучение с длиной волны  проявляет свойства частицы-фотона с энергией  и импульсом , то и материальные частицы с импульсом , (массой m и скоростью ) должны обладать волновыми свойствами с длиной волны

                                 .                     (4.4).

Такая волна называется волной де Бройля.

   Волновые свойства частиц проявляются при дифракции пучков на кристаллических решетках аналогично дифракции света на дифракционных решетках. Для заметного проявления волновых свойств частиц необходимо их разогнать до таких скоростей , чтобы длина волны де Бройля (4.4) стала бы сравнима с периодом кристаллической решетки. Ускорение частиц осуществляется электрическим полем:

                                 ,                    (4.5)

где  – разность потенциалов между точками ускорения частицы, которая имела нулевую начальную скорость.

   В замкнутом пространстве электромагнитное излучение находится в устойчивом состоянии в виде стоячих волн. Поэтому можно ожидать устойчивого состояния "стоячей" волны де Бройля электрона в атоме, когда вдоль орбиты укладывается целое число волн де Бройля:

                                          (4.6)

Из формул (4.4) и (4.6) следует правило квантования Бора, определяющее радиусы боровских разрешенных электронных орбит:

                                           (4.7)

Здесь m – масса электрона,  – его скорость на орбите с радиусом . Момент импульса электрона  может быть равен только целому числу постоянных Планка . (т.е.  – это квант момента импульса).

   Рассмотрим классическую модель водородоподобного или одноэлектронного атома, когда вокруг ядра с зарядом  вращается по орбите с радиусом  единственный электрон под действием силы Кулона

                         .                               (4.8)

   Используя уравнение (4.7) и (4.8) можно вывести выражение для разрешенных радиусов орбит и энергий частиц на этих орбитах:                            (4.9)

где  –   радиус первой боровской орбиты.

                                           (4.10)

где  – энергия частицы на первой орбите.

   В квантовой теории теряет смысл понятие траектории, а значит и радиуса орбиты (4.9). Состояние движения частицы описывается волновой функцией , физический смысл которой заключается в определении вероятности обнаружения этой частицы в пределах малого объема dV в момент времени t:

                                                     (4.11)

Здесь  – радиус-вектор не частицы, а участка пространства с объемом dV. Таким образом микрочастицу можно рассматривать, как объект, "размазанный" в пространстве с объемной плотностью вероятности .

   Вероятность того, что в данный момент времени t частица присутствует где-то в пространстве равна 1. Поэтому, проинтегрировав выражение (4.11) по всему объему нашего мира, мы получим условие нормировки волновой функции:

                                                      (4.12)

   Если микрочастица находится в замкнутом ограниченном пространстве, то интеграл (4.12) необходимо брать в пределах этого пространства. Примером может служить частица, находящаяся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечными стенками и шириной а. Тогда нормировочный интеграл (4.12) будет выглядеть так:                        

   Если волновая функция сферически симметрична, то формулу (4.11) можно переписать в виде:

                                                       (4.13)

   Функцию  можно назвать радиальной плотностью вероятности. Чтобы найти расстояние от центра силового поля до точки, где вероятность обнаружения микрочастицы максимальна, надо исследовать функцию f на экстремум, т.е. .

В декартовой системе координат в одномерном случае, когда , координату точки, где вероятность обнаружения микрочастицы максимальна, можно найти, исследовав на экстремум функцию              

 

   4.1. Волосок нити накаливания лампы сделан из вольфрама с удельным сопротивлением Ом×м и коэффициентом поглощения А = 0,3. Нить имеет длину l = 3,04 м, радиус r = 0,01 мм и присоединена к источнику напряжения U = 220 B. Найти температуру поверхности нити. .

Ответ:  = 2356 К.

   4.2. Цилиндр радиуса r с длиной l = 2 r был нагрет до некоторой температуры Т₀. Затем основания цилиндра нагрели до вдвое большей температуры, а боковую поверхность охладили в два раза. Во сколько раз изменилась тепловая мощность, излучаемая цилиндром? Ответ: увеличилась в 129/24 = 5,375 раз.

   4.3. Найти частоту фотона, соответствующего наиболее вероятной длине волны в спектре абсолютно чёрного тела с температурой Т = 1160 К. Если температуру уменьшить на D T = 160 K, то наиболее вероятная длина волны излучения изменится на Dl =400 нм.                   Ответ: Гц.

   4.4. Какой разностью потенциалов Dj должен быть ускорен электрон, чтобы его длина волны де Бройля стала бы равной длине волны де Бройля электрона, находящегося на третьей боровской орбите атома, радиус которой r = 0,48 нм? Масса электрона  кг, заряд электрона   Кл. 

                                      Ответ:  В.

   4.5. Волновая функция некоторой микрочастицы имеет вид: , где А =сonst, a = 10¹⁰ 1/м. На каком удалении r от начала координат вероятность нахождения микрочастицы максимальна?                Ответ: r = 3/a = 0,3 нм.

   4.6. Свободная микрочастица имеет сферически симметричную волновую функцию , где a = 10 ¹⁰ м ^–1. Найти величину постоянной А. Ответ:

Качественные задачи

   4.7к. Площадь, ограниченная графиком спектральной плотности энергетической светимости r _ω,т черного тела, при переходе от термодинамической температуры Т ₁ к температуре Т ₂ увеличилась в 16 раз. Во сколько раз возросла температура?

Ответ: 2

   4.8к. На рисунке показаны кривые зависимости спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела от длины волны при разных температурах. Если кривая 2 соответствует спектру излучения тела при температуре 1450 К, то кривая 1 соответствует температуре (в К)...

а) 5800 К б) 2900 К в) 1025 К г) 725 К

   4.9к. Отношение длин волн де Бройля для дейтрона и a-частицы, прошедших одинаковую ускоряющую разность потенциалов равно...

   4.10к. Если позитрон, протон, нейтрон и a-частица имеют одинаковую длину волны де Бройля, то наибольшей скоростью обладает...

а) протон б) позитрон в) нейтрон г) a-частица

   4.11к. Если -функция электрона в одномерном потенциальном ящике шириной  с бесконечно высокими стенками имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке  равна

а)     б)     в)     г)

 

Задачи для самостоятельной работы.

   4.1с. Поток энергии, излучаемой из смотрового окошка плавильной печи площадью S = 10 см² равен Ф = 100 Вт. Принимая, что отверстие печи излучает, как черное тело, определить температуру печи.

   4.2с. Исследование спектра излучения некоторой звезды показывает, что максимум спектральной плотности энергетической светимости соответствует длине волны λ = 100 нм. Принимая звезду за абсолютно черное тело определить ее энергетическую светимость. (ГВт/м²).

   4.3с. Электрон находится на третьей боровской орбите атома, радиус которой 0,48 нм. Во сколько раз увеличится длина волны де Бройля этого электрона при переходе на четвертую орбиту? Принять  Дж×c; m = 9,1×10^–31 кг.

   4.4с. Микрочастица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечными стенками имеет волновую функцию 

, где А ² = 3×10 ⁴⁶ м ^–5/2. Найти ширину ямы а.

4.5с. Найти максимальную плотность вероятности нахождения микрочастицы в одномерной потенциальной яме шириной а= 10^–9 м с бесконечными стенками, если волновая функция имеет вид . А² = 2,52×10⁸³ м^–9

Занятие 5.