Вращения в трехмерном псевдоевклидовом

Пространстве индекса два

                                             

Линейное преобразование х ′=А х с вещественной матрицей

 

	a 11	a 12	a 13
A =	a 21	a 22	a 23
	a 31	a 32	a 33

 

назовем преобразованием вращения, если его матрица удовлетворяет условию

  A = A = I,

где черточка обозначает операцию

= GA ^Т G,

индекс     T – операцию транспонирования, G – метрический тензор,

	-α	0	0
G=	0	-β	0
	0	0	αβ	,

 

причем a, β =±1, так что G = G^T, G ² = I и

 

	a11	αβa 21	-βa 31
=GATG =	αβa1 2	a22	-αa3 2
	-βa1 3	-αa2 3	a33	.

 

Очевидно, что

=G(AB)^TG=G(B^TA^T)G=(GB^TG)(GA^TG)= ,

и                               = =G(G А^Т G)^TG=GGAGG=A.

Преобразование вращения в трехмерном псевдоевклидовом векторном пространстве сохраняет квадраты модулей векторов. Такое преобразование является собственным вращением, если оно сохраняет также векторное произведение двух векторов и det || A ||=1. Преобразование с det || A ||= -1 является несобственным вращением или вращением с отражением.

Пусть е ₁, е ₂, е ₃ – любой ортонормированный базис, и пусть

х =х¹ е ₁+х² е ₂+х³ е ₃      и   х ′=х¹′ е ₁+х²′ е ₂+х³′ е ₃.

Каждое преобразование вращения задается формулами

х¹′= a ₁₁ х¹+ a ₁₂ х² + a ₁₃ х³,

х²′= a ₂₁ х¹+ a ₂₂ х²+ a ₂₃ х³,

х³′= a ₃₁ х¹+ a ₃₂ х²+ a ₃₃ х³

или в матричной форме

Х ′= A Х,

где для собственных вращений det (A)=1.

Так как рассматриваемая система координат является ортонормированной, действительная матрица А, описывающая каждое вращение, определяется системой равенств

	а11а11+αβа12а12-βа13а13	αβа11а21+а12а22-αа13а23	-βа11а31-αа12а32+ а13а33
А =	а21а11+αβа22а12-βа23а13	αβа21а21+а22а22-αа23а23	-βа21а31-αа22а32+ а23а33	=I
	а31а11+αβа32а12-βа33а13	αβа31а21+а32а22-αа33а23	-βа31а31-αа32а32+ а33а33

 

 

или, что равносильно,

	а11а11+αβа21а21-βа31а31	а11а12+αβа21а22-βа31а32	а11а13+αβа21а23- βа31а33
А=	αβа12а11+ а22а21-αа32а31	αβа12а12+ а22а22-αа32а32	αβа12а13+ а22а23- αа32а33	=I.
	-βа13а11- αа23а21+ а33а31	-βа13а12- αа23а22+ а33а32	-βа13а13- αа23а23+ а33а33

 

Любые три из коэффициентов а _ik определяют все остальные. Геометрически коэффициент а _ik определяет угол между базисным вектором e _i и повернутым базисным вектором

e _k ′= A e _k = а _jk e _j,

а _ik = ( e _i e _k ′ ).

Преобразование вращения поворачивает радиус – вектор х каждой точки трехмерного псевдоевклидового пространства на угол поворота δ вокруг направленной оси вращения, точки которой инвариантны. Угол поворота δ, а также направляющие углы положительной оси вращения определяются формулами

Chδ= (Tr (A)-1)= (a₁₁+ a₂₂+ a₃₃-1)=2λ₀²-1

αа₂₃+ а₃₂=2с₁ Sh δ=4λ₁λ₀,

-а₃₁-βа₁₃=2с₂ Sh δ=4λ₂λ₀,

βа₁₂-αа₂₁=2с₃ Sh δ=4λ₃λ₀.

Либо знак угла δ, либо направление оси вращения могут выбираться произвольно.

Матрица преобразования А, соответствующая данному вращению, описываемая числами δ, с₁, с₂,…, с₇, есть

	-αс1с1	-βс1с2	αβс1с3
	-αс2с1	-βс2с2	αβс2с3	+
	-αс3с1	-βс3с2	αβс3с3

 

	0	βс3	-βс2
+ Shδ	-αс3	0	αс1	.
	-с2	с1	0

Четыре симметричных параметра (Эйлера)

λ₀ , λ₁ , λ₂ , λ₃ ,

λ₀²-αλ₁²-βλ₂²+αβλ₃²=1

-αс₁²-βс₂²+αβс₃²= -1

однозначно определяют вращение, так как из выражения для матрицы А следует:

	-α (λ 1 λ 1 - αλ 0 λ 0)	-β(λ1λ2- λ3λ0)	αβ(λ1λ3- αλ2λ0)
А= - I+2 *	-α(λ2λ1+ λ3λ0)	-β(λ2λ2- βλ0λ0)	αβ(λ2λ3+ βλ1λ0)	.
	-α(λ3λ1+αλ2λ0)	-β(λ3λ2- βλ1λ0)	αβ(λ3λ3+αβλ0λ0)

При этом

	-α (λ 1 λ 1 - αλ 0 λ 0)	-β(λ 1 λ 2 + λ 3 λ 0)	αβ (λ 1 λ 3 + αλ 2 λ 0)
= - I+2 *	-α (λ 2 λ 1 - λ 3 λ0)	-β (λ2λ2- βλ 0 λ0)	αβ (λ 2 λ 3 - βλ 1 λ 0)	.
	- α (λ 3 λ 1 - αλ 2 λ 0)	- β (λ 3 λ 2 + βλ 1 λ 0)	αβ (λ 3 λ 3 + αβλ 0 λ 0)

 

Будем считать для определенности α=β=1. В принятом предположении

Chδ = (Tr (A)-1)= (a₁₁+ a₂₂+ a₃₃-1)=2λ₀²-1

βа₂₃+ а₃₂=2с₁ Sh δ=4λ₁λ₀,

-а₃₁-βа₁₃=2с₂ Sh δ=4λ₂λ₀,

βа₁₂-βа₂₁=2с₃ Sh δ=4λ₃λ₀.

 

	-βс1с1	-βс1с2	с1с3		0	βс3	-βс2
	-βс2с1	-βс2с2	с2с3	+Shδ	-βс3	0	βс1	.
	-βс3с1	-βс3с2	с3с3		-с2	с 1	0

 

Четыре симмметричных параметра (Эйлера)

λ₀²-λ₁²-βλ₂²+λ₃²=1,

-βс₁²-βс₂²+с₃² = -1,

однозначно определяют вращение, так как из выражения для матрицы А следует:

	-β (λ 1 λ 1 - β λ 0 λ 0)	-β(λ1λ2- λ3λ0)	λ1λ3 -βλ2λ0
	-β(λ2λ1+ λ3λ0)	-β(λ2λ2-βλ0λ0)	λ2λ3+βλ1λ0
	-β(λ3λ1+βλ2λ0)	-β(λ3λ2-βλ1λ0)	λ3λ3+ λ0λ0	,

при этом

	-β (λ 1 λ 1 - β λ 0 λ 0)	-β(λ1λ2+ λ3λ0)	λ 1 λ 3 +β λ 2 λ 0
= - I+2 *	-β(λ 2 λ - λ 3 λ0)	-β(λ2λ2 - β λ 0 λ0)	λ2λ3 - β λ1λ0
	-β(λ3λ1 -β λ2λ0)	-β(λ3λ2 +β λ1λ0)	λ3λ3+ λ0λ0	,

а параметры λ ₀, λ ₁, λ ₂, λ ₃ и– λ ₀, – λ ₁, – λ ₂, – λ ₃ представляют одно и то же вращение.

Следующие матрицы преобразования описывают правые вращения вокруг положительных координатных осей:

 

	1	0	0
А1(φ)=	0	Ch φ	β Sh φ
	0	Sh φ	Ch φ

 

	Chφ	0	-βShφ
А 2 (φ)=	0	1	0
	-Shφ	0	Chφ

 

	cos φ	β sin φ	0
А 3 (φ)=	-β sin φ	cos φ	0
	0	0	1	.

Заметим, что      

А _i (- φ), i = 1, 2, 3.

Каждая матрица А, описывающая собственное вращение в трехмерном псевдоевклидовом пространстве, может быть различными способами представлена в виде произведения трех матриц

в частности, так:

А= A ₃ (φ ₁)A₂(φ₂)A₃(φ₃) =

 

	cos φ 1	βsinφ1	0		Chφ2	0	-βShφ2		cosφ3	βsinφ3	0
=	-βsinφ1	cosφ1	0	*	0	1	0	*	-βsinφ3	cosφ3	0	=
	0	0	1		-Shφ2	0	Chφ2		0	0	1

 

	cos φ 1 Ch φ 2 cos φ 3 - sin φ 1 sin φ 3	βcos φ 1 Ch φ 2 sin φ 3 +βsin φ 1 cos φ 3	- βcos φ 1 Sh φ 2
=	- βsinφ1Chφ2cosφ3-βcosφ1sinφ3	-sinφ1Chφ2sinφ3+ cosφ1cosφ3	sin φ 1 Sh φ 2	.
	-Shφ2cosφ3	-βShφ2sinφ3	Ch φ 2

 

Три угла (Эйлера) φ₁, φ₂, φ₃, однозначно определяют вращение; в свою очередь они однозначно определяются данным вращением за исключением случая, когда φ₂=0 (карданов подвес).

Обратное вращение А^-1=  (переводящее вектор х ′ в исходный вектор х) представляется матрицей

                                          =A₃(- φ ₃)A₂(- φ₂)A₃(- φ ₁) =

 

	cosφ 1 Chφ 2 cosφ 3 - sinφ 1 sinφ 3	-βsinφ 1 Chφ 2 cosφ 3 -βcosφ 1 sinφ 3	βShφ 2 cosφ 3
=	β cosφ 1 Chφ 2 sinφ 3 +β sinφ 1 cosφ 3	-sinφ 1 Chφ 2 sinφ 3 + cosφ 1 cosφ 3	Shφ 2 sinφ 3	….
	cosφ 1 Shφ 2	- βsinφ 1 Shφ 2	Chφ 2

Существуют шесть способов, которыми матрицу вращения можно выразить путем вращения вокруг двух различных осей координат. Кроме того, существует шесть способов представления матриц вращения в виде произведения вращений вокруг трех различных осей координат, в частности, так:

	1	0	0		Chφ2	0	-βShφ2		cosφ3	βsinφ3	0
A=A1(φ1) A2(φ2) A3(φ3)=	0	Chφ1	βShφ1		0	1	0		-βsinφ3	cosφ3	0	=
	0	Shφ1	Chφ1		-Shφ2	0	Chφ2		0	0	1

 

	Chφ2cosφ3	-βChφ2sinφ3	-βShφ2
=	-βShφ1Shφ2cosφ3-βChφ1sinφ3	-Shφ1Shφ2sinφ3+Chφ1cosφ3	βShφ1Chφ2
	-Chφ1Shφ2cosφ3-βShφ1sinφ3	-βChφ1Shφ2sinφ3+Shφ1cosφ3	Chφ1Chφ2

при                                     =A ₃ (- φ ₃) A₂(- φ₂) A ₁ (- φ ₁) =

	Chφ2cosφ3	-βShφ1Shφ2cosφ3-βChφ1sinφ3	βChφ1Shφ2cosφ3+ Shφ1sinφ3
=	-βChφ2sinφ3	-Shφ1Shφ2sinφ3+ Chφ1cosφ3	Chφ1Shφ2sinφ3-βShφ1cosφ3	.
	Shφ2	-Shφ1Chφ2	Chφ1Chφ2

 

Представление группы преобразований вращения трехмерного псевдоевклидового пространства индекса два

 

Преобразование Х′=АХ назовем представлением преобразования вращения, если его матрица

A=	a 11	a 12
	a 21	a 22

 

комплексна и удовлетворяет условию

  A = A = I,

где черточка обозначает операцию

= GA * G,

индекс     * – операцию эрмитового сопряжения, а G -метрический тензор

 

G=	1	0
	0	-β	.

 

причем β = ±1, так что G = G *, G ² = I и

 

= GA * G =	11	-β 21
	-β 12	22	.

Очевидно, что

=G(AB)*G=G(B*A*)G=(GB*G)(GA*G)= ,

и                       = =G(G А *G)*G=GGAGG=A.

Докажем, что совокупность преобразований вращения обладает групповыми свойствами.

1. Произведение двух преобразований вращения есть преобразование вращения.

Действительно, пусть даны преобразования вращения с матрицами А₁ и А₂; произведение их есть преобразование с матрицей А=А₂А₁. На основании правил перемножения матриц мы можем написать тождество

А =(А₂А₁)()=(А₂А₁)( )= А₂(А₁ ) .

Отсюда вследствие равенства A  = I имеем:

A = А₂ I = I.

Тем самым требуемое доказано.

2. Преобразование, обратное преобразованию вращения является преобразованием вращения.

Действительно, пусть А -матрица некоторого преобразования вращения и В= А^-1 - матрица преобразования, обратного ему. Из условия A = I следует, что = А^-1. Таким образом В= . Отсюда

В =  ()= А= А^-1А= I.

Тем самым требуемое доказано. Таким образом, совокупность преобразований вращения есть группа.

Условие преобразований вращения, записанное в матричной форме, равносильно соотношениям:

 

А =	а11 11 -β 12 а12	а12 22 -β 21 а11	= I,
	а21 11 -β 12 а22	а22 22 -β 21 а21

равным I.

Этим условиям можно придать форму отличную от этой формы

 

А=	11 а11-βа21 21	-β 21 а22+а12 11	= I,
	-β 12 а11 +а21 22	22 а22-βа12 12

 

также равной I. Эти системы равенств равносильны.

Любые два из четырех комплексных коэффициентов а _ik определяют все остальные. Более того, они дополнительно связаны соотношением унимодулярности (определитель матрицы А равен ±1), так что два комплексных коэффициента а _ik полностью определяются лишь тремя вещественными параметрами.

Если задан ортонормированный базис е ₁, е ₂, е ₃, то каждый действительный вектор х =х¹ е ₁+х² е ₂+х³ е ₃ может быть представлен (вообще говоря, комплексной) матрицей размера 2х2

             

Х =	-β x3	- β(x1 - ix2)	=	x1 Е 1 + x2 Е 2 + x3 Е 3,
	x1+ix2	β x3

где спиновые матрицы (Паули)

 

Е 1 =	0	- β	,	Е 2 =	0	β i	,	Е 3 =	-β	0
	1	0			i	0			0	β

 

соответствуют базисным векторам е ₁, е ₂, е ₃. Это соответствие является изоморфизмом, сохраняющим результат сложения векторов и умножения векторов на вещественные числа.

Для каждого вращения вектор вращения х ′=х¹′ е ₁+х²′ е ₂+х³′ е ₃ представляется матрицей

Х ′= x ¹ ′ Е ₁+ x ² ′ Е ₂+ x ³ ′ Е ₃=А Х ,

где А – (вообще говоря, комплексная) 2х2 матрица с определителем равным 1:

 

А =		β b	=	a	-β b
		a		-		,

где

a = λ ₀ - i β λ ₃,        b = λ ₂ + i λ ₁,

| a |²-β| b |²= λ ₀ ² -β(λ ₁ ² + λ ₂ ²)+ λ ₃ ² =1.

 

А =	| a |2-β| b |2	0	= I.
	0	| a |2-β| b |2

 

Комплексные числа a, b определяют соответствующее вращение однозначно, но a, b и - a, - b (а потому матрицы А и -А) описывают одно и тоже вращение. Числа a, b и ,  называются параметрами (Кэли-Клейна) данного вращения.

Следующие матрицы преобразования описывают правые вращения вокруг положительных координатных осей:

 

А1(φ)=	Ch (φ/2)	i β Sh (φ/2)
	- iSh (φ/2)	Ch (φ/2)

 

А2(φ)=	Ch (φ/2)	β Sh (φ/2)
	Sh (φ/2)	Ch (φ/2)

 

А3(φ)=	cos (φ/2)+ i β sin (φ/2)	0	=	е iβφ/2	0	.
	0	cos(φ/2)- i β sin (φ/2)		0	е -iβφ/2

 

Каждая матрица А, описывающая представление вращений в трехмерном псевдоевклидовом пространстве, может быть различными способами представлена в виде произведения трех матриц

в частности, так:

А= A ₃ (φ ₁) A ₂ (φ ₂) A ₃ (φ ₃) =

 

=	е iβ ( φ 1) /2	0		Ch(φ2/2)	βSh(φ2/2)		еiβ(φ3)/2	0	=
	0	е –iβ(φ1)/2		Sh(φ2/2)	Ch(φ2/2)		0	е –iβ(φ3)/2

 

=	Ch (φ 2 /2)е iβ ( φ3+φ1)/2	β Sh (φ 2 /2)е –iβ ( φ3-φ 1) /2	.
	Sh (φ 2 /2)е iβ ( φ3-φ 1) /2	Ch (φ 2 /2)е –iβ ( φ3+φ 1) /2

С другой стороны

 

А =		β b	=	λ 0 + i β λ 3	β (λ 2 + i λ 1)	,
		a		λ 2 - i λ 1	λ 0 - i β λ 3

так что

λ₀= Ch (φ₂/2) cos ((φ₃+φ₁)/2),                   λ₂= Sh (φ₂/2) cos ((φ₃-φ₁)/2),

λ₃= Ch (φ₂/2) sin ((φ₃+φ₁)/2),                   λ₁= -β Sh (φ₂/2) sin ((φ₃-φ₁)/2),

a = Ch (φ₂/2) exp (- iβ (φ₃+φ₁)/2),              b = Sh (φ₂/2) exp (- iβ (φ₃-φ₁)/2).

Четыре параметра (Эйлера ) λ ₀, λ ₁, λ ₂, λ ₃

λ ₀ ² -β λ ₁ ² -β λ ₂ ² + λ ₃ ² =1

однозначно определяют вращение, причем условие

| a |²-β| b |²=1.

Линейные комбинации матриц I, i Е₁, i Е₂ и i Е₃ с действительными коэффициентами образуют представление четырехмерной алгебры псевдокватернионов, скаляры которой соответствуют действительным кратным матрицы I, а образующие соответствуют матрицам i Е₁, i Е₂, i Е₃, причем

-β(Е ₁)²= -β(Е ₂)²=(Е ₃)²= I,

Е ₂ Е ₃ = - Е ₃ Е ₂= - i β Е ₁, Е ₃ Е ₁= - Е ₁ Е ₃= - i β Е ₂, Е ₁ Е ₂= - Е ₂ Е ₁= i Е ₃.

Каждая комплексная матрица размера 2х2 может быть представлена в виде такой линейной комбинации, в частности,

А =λ₀I-i(λ₁ Е ₁ + λ₂ Е ₂ + λ₃ Е ₃),

= λ ₀ I + i (λ ₁ Е ₁ + λ ₂ Е ₂ + λ ₃ Е ₃).

Снова матрицы А и -А определяют одно и тоже вращение однозначно.

Представление

Х ′= x ¹ ′ Е ₁+ x ² ′ Е ₂+ x ³ ′ Е ₃=А Х

в координатной форме дает:

x ¹ ′=(λ ₀ λ ₀ -β λ ₁ λ ₁ +β λ ₂ λ ₂ - λ ₃ λ ₃) x ¹    -2β(λ ₁ λ ₂ - λ ₃ λ ₀) x ²              +2(λ ₁ λ ₃ - β λ ₂ λ ₀) x ³,

x ² ′=          -2β(λ ₂ λ ₁ + λ ₃ λ ₀) x ¹ +(λ ₀ λ ₀ +β λ ₁ λ ₁ -β λ ₂ λ ₂ - λ ₃ λ ₃) x ²   +2(λ ₂ λ ₃ +β λ ₁ λ ₀) x ³,

x ³ ′=         -2β(λ ₃ λ ₁ +β λ ₂ λ ₀) x ¹      -2β(λ ₃ λ ₂ -β λ ₁ λ ₀) x ² +(λ ₀ λ ₀ +β λ ₁ λ ₁ +β λ ₂ λ ₂ + λ ₃ λ ₃) x ³.

Таким образом, задача описания преобразований вращения вполне разрешима. Преобразования вращений в трехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса два существенно отличаются от преобразований вращения в трехмерном собственноевклидовом пространстве [1]. Свойства группы псевдоортогональных преобразований также существенно отличаются от свойств группы собственноортогональных преобразований. Геометрии собственноунитарной группы [2] (трехмерной собственноевклидовой геометрии) соответствует представление со значением β= -1. Геометрии псевдоунитарной группы (трехмерной псевдоевклидовой геометрии) соответствует представление со значением β= 1.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ефимов, Н.В. Высшая геометрия [Текст] / Н.В. Ефимов. – М.: Высшая школа, 1971. – 576 с.

2. Корн, Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) [Текст] / Г. Корн, Т. Корн. – М.: Наука, 1977. – 832 с.

 

 

УДК 514.12

©2005 г., А.В. Коротков

Векторы в четырехмерном