Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Пусть случайная величина Х задана таблицей распределения

 

X				…		…
p				…		…

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности :

Математическое ожидание называют также средним значением случайной величины Х, подчеркивая статистический смысл понятия, или центром распределения случайной величины Х (по аналогии с понятием центра тяжести для системы материальных точек).

Свойства математического ожидания:

1) если случайная величина Х принимает постоянное значение Х=С= =const, то М(С)=С;

2) М(СХ)=СМ(Х), С = const;

3) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y)=M(X)+M(Y);

4) Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(X×Y)=M(X)×M(Y).

Наряду с характеристиками положения большую роль играют характеристики рассеяния. Рассеяние случайной величины Х связано с отклонением этой величины от ее центра распределения М(Х). Чтобы учитывать отклонения противоположных знаков, удобно рассматривать квадраты отклонений.

Дисперсией D(X) случайной величины Х называют средний квадрат отклонения случайной величины от ее центра распределения:

Используя свойства математического ожидания, можно записать более удобную формулу для подсчета дисперсии

.

Для того, чтобы рассматривать отклонение в тех же единицах, что и значения случайной величины, вводится еще одна характеристика – среднее квадратическое отклонение s(Х), которое определяется как

.

Свойства дисперсии:

1) D(X) ³ 0;

2) если С=const, то D(С) = 0;

3) , С=const;

4) D(X ± Y) = D(X) + D(Y).

Пример. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения:

 

Х
Р	0,5	0,2	0,2	0,1

 

Найти М(Х), D(X), s(X).

Решение. Найдем математическое ожидание: М(Х)=2×0,5+3×0,2+5×0,2+6×0,1=3,2.

Дисперсию вычислим по формуле .

;

;

 

 

Теоретические вопросы к разделу 4.

 

1. Закон распределения дискретной случайной величины.

2. Функция распределения дискретной случайной величины.

3. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

4. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

 

Задание к разделу 4.

 

Дискретная случайная величина может принимать только два значения: и , причем . Известны вероятность возможного значения , математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X). Найти закон распределения этой случайной величины.

 

№
	0,1	0,3	0,5	0,7	0,9	0,9	0,8	0,6	0,4	0,2
М(Х)	3,9	3,7	3,5	3,3	3,1	2,2	3,2	3,4	3,6	3,8
D(X)	0,09	0,21	0,25	0,21	0,09	0,36	0,16	0,24	0,24	0,16

 

Раздел 5. Непрерывные случайные величины.

 

В теории вероятностей и ее приложениях часто встречаются такие случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый интервал (a,b) конечный или бесконечный. Такие случайные величины называются непрерывными. Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х должен позволять находить вероятность попадания ее значений в любой интервал, Лежащий внутри (a,b). При этом вероятность попадания случайной величины в интервал (х,х+Dх) малой длины Dх>0 можно приближенно считать пропорциональной длине этого интервала: Р(х<X<x+Dх)» f(x)Dх, где функция называется функцией плотности распределения вероятностей случайной величины Х, а произведение f(x)Dх = f(x)dx – элементом вероятности.

Свойства функции плотности:

1) f(x) ³, xÎ(-¥,+¥);

2) вероятность попадания случайной величины Х в интервал () равна ;

3) .

Плотность распределения вероятностей вполне определяет закон распределения непрерывной случайной величины Х.

Так как , то функция F(x) является первообразной функции f(x): F¢(x)=f(x), откуда следует, что для непрерывной случайной величины Х функция распределения F(x) является непрерывной. Если задана функция плотности f(x), то функция распределения может быть найдена по формуле

.

Функция F(x) называется интегральной функцией, а функция f(x) – дифференциальной.

Математическим ожиданием (средним значением, центром распределения) М(Х) непрерывной случайной величины Х называется интеграл от произведения ее значений х на плотность распределения вероятностей f(x):

Дисперсию непрерывной случайной величины удобно вычислять по той же упрощенной формуле, что и в дискретном случае

, где .

Укажем некоторые из наиболее часто встречающихся законов распределения непрерывных случайных величин.

Равномерное распределение в интервале (а,b). Говорят, что случайная величина распределена равномерно в конечном интервале (а,b), если все ее возможные значения сосредоточены на этом интервале, и плотность распределения ее вероятностей на этом интервале постоянна. Функция плотности распределения задается формулой:

Числовые характеристики: , ; .

Нормальный закон распределения. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид:

, , где .

Вероятность того, что случайная величина Х примет значения из интервала определяется с помощью интегральной функции Лапласа

.

Справедливо «правило трех сигм»: R(½C-а½<3s)=,9973, которое позволяет при решении практических задач применять нормальный закон распределения к случайным величинам, заданным на конечном интервале. К нормальному распределению обычно приводят задачи, связанные с распределением сумм большого числа случайных величин.

Показательный закон распределения. Плотность вероятностей определяется формулой

.

Формула распределения показательного закона

.

Числовые характеристики: .

К показательному закону распределения вероятностей приводит задача о распределении промежутка времени Х между двумя последовательными событиями в простейшем потоке.

Пример. Случайная величина Х задана функцией распределения

Требуется:

1) определить коэффициент А;

2) найти функцию распределения F(x);

3) схематично построить графики функций f(x) и F(x);

4) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х;

5) определить вероятность того, что Х примет значения из интервала (8; 11).

Решение. 1)Коэффициент А можно определить из условия .

,

откуда ; .

2) Функцию распределения найдем из соотношения . Если x£1, то ; если 1<x£9, то ; если х>9, то . Таким образом, функция распределения имеет вид .

3) Графики функций f(x) и F(x) изображены на рисунках.

Рис 4. Функция плотности. Рис. 5. Функция распределения.

4) Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х: . Для вычисления дисперсии найдем : Воспользуемся формулой : . Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х: .

5). Вероятность того, что случайная величина попадет в некоторый интервал, можно найти или с помощью функции плотности, или с помощью функции распределения. Рассмотрим оба варианта: ; .

 

Теоретические вопросы к разделу 5.

 

1. Функция плотности распределения вероятностей.

2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

3. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

4. Равномерное распределение.

5. Показательный закон распределения.

6. Нормальный закон распределения.

 

Задание к разделу 5.

 

Непрерывная случайная величина Х задана своей плотностью распределения вероятностей f(x). Требуется:

1) определить коэффициент А;

2) найти функцию распределения F(x);

3) схематично построить графики функций f(x) и F(x);

1) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее

квадратическое отклонение случайной величины Х;

2) определить вероятность того, что Х примет значения из интервала

(a, b).

 

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .