Первая и вторая космические скорости.

Первая космическая скорость – это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите. Именно эту скорость V₁ необходимо сообщить камню из рассуждений Ньютона, чтобы камень стал двигаться вокруг Земли, подобно спутнику.

Тогда камень будет совершать вращательное движение по орбите вокруг Земли и приобретёт центростремительное ускорение, которое будет равно ускорению свободного падения: .

(предполагаем, что камень брошен с поверхности Земли).

Откуда первая космическая скорость

Или по-другому первую космическую скорость можно определить из динамики: единственная сила, которая действует на камень – это сила притяжения к Земле

Откуда , где – масса Земли.

Исходя из формулы , видно, что , то есть ускорение свободного падения на планете определяется массой планеты М и расстоянием R до центра планеты (высотой).

Вторая космическая скорость – наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту (например, космическому аппарату), масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой небесного тела (например, планеты), для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела и покидания круговой орбиты вокруг него.

Вторая космическая скорость определяется из закона сохранения энергии. Для её нахождения решают обратную задачу: находят скорость, которую приобретёт свободно падающее тело из далёкого космоса (из бесконечности) при приземлении на Землю. Именно эту скорость и нужно сообщить телу, чтобы оно преодолело земное притяжение и вырвалось с нашей планеты назад в далёкий космос.

откуда для Земли вторая космическая скорость равна

 

Динамика вращательного движения

При равномерном движении тела по окружности полное ускорение тела определяется только центростремительным ускорением: .

При неравномерном вращении тела по окружности полное ускорение тела равно векторной сумме центростремительного ускорения и касательного (тангенциального) ускорения: .

В задачах ЕГЭ не встречаются вопросы, связанные с нахождением касательного ускорения, однако не стоит забывать о том, что не всякое движение по окружности является равномерным (например, движение маятника, подвешенного на нити), чтобы избежать ошибок при составлении уравнений движения. В таких задачах нужно написать второй закон Ньютона в проекции на радиус вращения (на радиальное направление), тогда проекцией полного ускорения тела будет являться центростремительное ускорение: . Часто в более сложных задачах на динамику вращательного движения необходимо уметь применять закон сохранения энергии (например, для вычисления мгновенной скорости тела).

Типовые задачи

1. Вращение тела в вертикальной плоскости на нити длины l.

Такое движение тела не является равномерным движением по окружности.

Второй закон Ньютона: ;

В проекции на ось x (радиальное направление):

Здесь v – мгновенная скорость тела в момент, когда нить составляет с вертикалью угол α.

2. Равномерное вращение тела в горизонтальной плоскости на нити длины l.

Второй закон Ньютона: ;

В проекции на ось x (радиальное направление):

В проекции на ось y: . Отметим, что вдоль оси y ускорения нет.

3. Тело без трения скользит по поверхности сферы радиуса R.

Второй закон Ньютона: .

В проекции на ось x (радиальное направление):

4. Тело скользит по внутренней поверхности сферы радиуса R.

Второй закон Ньютона: .

В проекции на ось x (радиальное направление):

В проекции на ось y: =0.

.­­

5. Движение спутника по круговой орбите вокруг Земли.

В этом случае сила тяготения Земли сообщает спутнику центростремительное ускорение : .

В проекции на ось x: . R – расстояние между центрами Земли и спутника (радиус орбиты спутника).

6. Движение велосипедиста по треку.

При движении велосипедиста по гладкому треку, чтобы двигаться по окружности, велосипедист должен наклониться внутрь траектории, чтобы проекция силы тяжести создала центростремительное ускорение.

Сила реакции опоры проходит через центр тяжести велосипедиста под углом α к треку.

Запишем второй закон Ньютона: .

В проекции на ось x:

В проекции на ось y: ; .

Тангенс угла наклона к треку можно определить по формуле: .

7. Тело вращается вместе с горизонтальной платформой.

Пусть тело массой m лежит на горизонтальной платформе, которая вращается с угловой скоростью w. Коэффициент трения тела о платформу равен µ. Расстояние от тела до оси вращения равно R. Тело будет удерживаться на платформе силой трения . Именно сила трения . создаёт цетростремительное ускорение и совпадает с ним по направлению.

Запишем второй закон Ньютона: .

В проекции на ось x:

В проекции на ось y: ; .

Сила трения:

 

Статика твёрдого тела.

Основные понятия: момент силы, плечо силы, условие равновесия тел, центр масс, рычаг, золотое правило механики.

Плечо силы - это расстояние от оси вращения до линия действия силы.

AB=h – плечо силы относительно точки O (центр вращения).

Момент силы относительно оси вращения:

.

Момент силы – векторная величина. Направление момента силы определяется по правилу буравчика.

Условия равновесия твёрдого тела:

1)

2)

В задачах ЕГЭ нет необходимости определения направления вектора момента силы, достаточно лишь указать, в какую сторону вращает или вращало бы тело данная сила, и присвоить моменту знак “+” или “-” в зависимости от направления вращения, этот знак следует учесть во втором условии равновесия твёрдого тела.

Центр масс тела – точка тела, которая движется так, как будто на неё действуют только внешние силы, её положение зависит от того, как распределена масса внутри тела.

На рисунке палка, брошенная под углом к горизонту, имеет точку, которая движется как материальная точка только под действием силы тяжести. Эта точка и есть центр масс палки.

Положение центра масс системы тел, определяется по формуле:

Если система состоит из 2 материальных точек массами и , то центр масс такой системы будет расположен где-то на отрезке, соединяющем эти точки, причём ближе к той точке, которая имеет большую массу. В качестве системы координат здесь достаточно выбрать одну ось x, направленную вдоль линии, соединяющей 2 точки. Для упрощения нахождения координаты цетра масс начало координат помещается в одну из материальных точек, что приводит к уменьшению количества слогаемых в формуле.

Центр масс твёрдого тела произвольной формы можно найти аналогичным образом, разбив его на элементарные тела, представимые в виде материальных точек.

Рычаг - твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси.

Условие равновесия рычага: ; .

Рычаг даёт выигрыш в силе или в расстоянии.

Золотое правило механики: ни один из простых механизмов не даёт выигрыша в работе. Во сколько раз выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии, и наоборот.

 

Статика жидкости и газов.

Основные понятия: давление, гидростатическое давление, атмосферное давление, барометр, закон Паскаля, гидростатический парадокс, сообщающиеся сосуды, гидравлический пресс, закон Архимела, выталкивающая сила.

Силы, с которыми действуют друг на друга отдельные участки сжатой жидкости или газа, подобны силам упругости в твёрдых телах. Однако силы упругости в жидкости или газе возникают только при деформации сжатия, но не при сдвиге слоёв друг относительно друга. Сила, действующая на поверхность элемента жидкости со стороны остальной жидкости, а также на поверхность твёрдового тела, погружённого в жидкость, или стенки сосуда, в статическом случае всегда перпендикулярна к поверхности.

Упругие напряжения в жидкостях и газах называют давлением.

Если сила давления F равномерно распределена по поверхности площадью S, то давление p определяется:

Давление – скалярная величина.

Давление, которое создаёт жидкость, находящаяся в равновесии при действии силы тяжести, называют гидростатическим. Гидростатическое давление прямо пропорционально высоте столба жидкости:

h – глубина погружения в жидкость.

Давление внутри жидкости на любой глубине:

– нормальное атмосферное давление,

Для измерения атмосферного давления используются ртутные барометры.

При нормальном атмосферном давлении столбик ртути поднимается на высоту 760 мм:

Для перевода давления из мм. рт. ст. в Па используется следующее соотношение:

Первым ртутным барометром стала трубка Торричелли.

Закон Паскаля: давление, производимое внешними силами на покоящуюся жидкость, передаётся жидкостью во все стороны одинакого.

Давление в неподвижной жидкости (или газе) на одной и той же глубине не зависит от ориентации площадки внутри жидкости.

Гидростатический парадокс: благодаря различной форме сосуда сила давления жидкости на его дно может быть больше или меньше веса жидкости.

 

В сообщающихся сосудах однородная жидкость устанавливается на одном уровне. Этот факт следует из того, что давление на любом уровне в обоих сосудах одинакого.

В сообщающихся сосудах высоты столбов жидкости над уровнем раздела жидкостей обратно пропорциональны плотности этих жидкостей: