Методика изучения математики

ПРОГРАММА КУРСА «МАТЕМАТИКА»

для студентов-заочников образовательных учреждений

среднего профессионального образования

По специальности 140613.51 Техническая эксплуатация и обслуживание

Электрического и электромеханического оборудования

 

РАЗДЕЛ 1.Математический анализ.

 

Тема 1.1. Дифференциальное и интегральное исчисление.

1. Функции одной независимой переменной.

2.Пределы. Непрерывность функций.

3.Производная, физический и геометрический смысл. Исследование функции. 4.Неопределенный интеграл, его свойства и методы интегрирования.

5.Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла. Вычисление геометрических и физических величин с помощью интегрального исчисления.

6.Функции нескольких переменных. Частные производные.

Тема 1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения в частных производных.

1.Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

2.Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. 3.Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

4.Неполные дифференциальные уравнения 2-го порядка.

5Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

6Дифференциальные уравнения в частных производных

Тема 1.3. Последовательность и ряды

1.Понятие последовательности. Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов.

2.Степенные ряды.

3.Ряды Фурье.

Тема 1.4. Комплексные числа.

1.Определение комплексных чисел.

2.Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

3.Модуль и аргумент комплексных чисел.

4.Различные формы записи комплексных чисел.

5.Операции над комплексными числами.

 

РАЗДЕЛ 2. Основы теории вероятностей и математической статистики.

 

Тема 2.1. Случайные события. Математическое ожидание

И дисперсия случайной величины.

1.Математическое ожидание дискретной случайной величины.

2. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратичное отклонение случайной величины

 

 

РАЗДЕЛ 3. Основные численные методы.

 

Тема 3.1. Численное интегрирование.

1.Формулы прямоугольников.

2. Формула трапеций.

3.Формула Симпсона

4.Абсолютная погрешность при численном интегрировании

 

 

Тема 3.2. Численное дифференцирование.

 

1.Численное дифференцирование.

2.Формулы приближенного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона.

3.Погрешность в определении производной.

 

 

Тема 3.3. Численное решение обыкновенных

Дифференциальных уравнений.

1.Метод Эйлера для решения задачи Коши.

 

 

Литература

 

Основная:

1.«Алгебра и начала анализа» под ред. Г.Н.Яковлева, «Математика для техникумов», М. «Наука», ч. 1.

2.«Алгебра и начала анализа» под ред. Г.Н.Яковлева, «Математика для техникумов», М. «Наука», ч. 2.

3.Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике», М. «Высшая школа».

4.Пехлецкий И.Д. «Математика», М «Мастерство».

5. «Алгебра и начала анализа», под ред. А.Н. Колмогорова, М. «Просвещение».

 

Дополнительная:

1.Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление», Т.1, М. «Наука».

2.Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление», Т.2, М. «Наука».

3.Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. «Краткий курс высшей математики», М «Высшая школа».

4.Гмурман В.Е. «Теория вероятностей и математической статистики», М. «Высшая школа».

5.Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике», М. «Высшая школа».

6.Цыпкин А.Г. «Справочник по математике» для сред. уч. зав., М. «Наука».

7.Старостенкова Н.Г. «Проверочные работы с элементами тестирования по алгебре», С. «Лицей».

8.Мешков К.И., Пышкало А.М., Рудницкая В.Н. «Множества, отношения, числа, величины», М. «Просвещение».

 

Методические указания по изучению курса МАТЕМАТИКА

РАЗДЕЛ 1.Математический анализ.

 

Тема 1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Тема 1.4. Комплексные числа

 

Комплексными называются числа вида где действительные числа, -число, определенное равенством -называют мнимой единицей.

 

Действия сложения и умножения:

1. Два комплексных числа и называются равными, если

2.Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число

3.Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа. Действительное число называется действительной частью комплексного числа , а действительное число мнимой частью.

При , комплексное число обращается в чисто мнимое число .

Комплексное число называется комплексно сопряженным с числом и обозначается

Комплексные числа вида и называются противоположными.

Модулем комплексного числа называется число , т.е. .

Комплексное число можно изображать точкой плоскости с координатами

 

 

 

 

Действительное число изображается точкой оси абсцисс, которую называют действительной осью, мнимые числа-точками оси ординат, которую называют мнимой осью. Каждой точке плоскости с координатами с координатами соответствует один и только один вектор с началом в точке и концом в точке . Поэтому комплексное число можно изображать в виде вектора с началом в точке и концом в точке .

 

 

Свойства:

1.Длина вектора равна ;

2.Точки и симметричны относительно действительной оси;

3.Точки и симметричны относительно точки ;

4.Число геометрически изображаются как вектор, построенный по правилу сложения векторов, соответствующих точкам и .

 

 

 

 

5.Расстояние между точками и равно .

Угол между действительной осью ОХ и вектором называется аргументом комплексного числа .

Аргумент комплексного числа записывается так: или .

Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка называется главным значением аргумента.

Действия вычитания и деления:

1.Разностью комплексных чисел и называется комплексное число .

2.Делением комплексных чисел и называется комплексное число:

.

Формулы перехода от алгебраической к тригонометрической форме:

или

или

, где называется тригонометрической формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме:

1.Произведение комплексных чисел и находится по формуле:

2.Частное комплексных чисел и находится по формуле: .

3.Для возведения в n-ю степень используется формула: , которая называется формулой Муавра.

4.Для извлечения корня n-й степени из комплексного числа , используется формула: , где -арифметический корень.

Найдите модуль и главное значение аргумента комплексных чисел:

1. ; 2. .

Решение:

1. ; ; ; ; ; ;

2. ; ;

 

 

Выполните действия: 1. ; 2. 3.

Решение:

1. .

2.

3.

 

Вычислите:

Решение:

Представьте в тригонометрической форме:

Решение:

или или

 

Представьте в алгебраической форме:

Решение:

 

 

Возведите в степень: ;

Решение: по формуле Муавра получим:

1.

 

Извлеките корень из комплексного числа:

Решение: Представим число в тригонометрической форме

если

если

Вопросы для самопроверки:

1.Дайте определение комплексного числа.

2.Какие числа называются комплексно сопряженными?

3.Какие комплексные числа называются равными?

4.Что называется модулем комплексного числа?

5.Дайте определение тригонометрической формы комплексного числа.

6.Как осуществляется переход от записи комплексного числа., заданного в алгебраической форме, к его тригонометрической форме?

7.Как умножаются и делятся комплексные числа, заданные в тригонометрической форме?

8.Как возводится в степень комплексное число, заданное в тригонометрической форме?

9.По какой формуле извлекается корень n-й степени из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме?

Дифференциальных уравнений.

1.Метод Эйлера для решения задачи Коши.

Рассмотрим приближенное решение уравнения (1) на отрезке .удовлетворяющее начальному условию при . Разделим отрезок точками на равных частей (здесь ). Обозначим , следовательно,

Пусть есть некоторое приближенное решение уравнения(1) и

Обозначим

В каждой из точек в уравнении (1) производную заменим отношением конечных разностей: (2) ; (2.1)

При будем иметь , или

В этом равенстве известны, следовательно находим

При уравнение (2.1) примет вид или ;

где -известны. Аналогично находим

Т.О. приближенные значения решения в точках найдены. Соединяя на координатной плоскости точки отрезками прямой, получим ломаную - приближенное изображение интегральной кривой. Эта ломаная называется ломаной Эйлера.

Пример: При найти приближенное значение решения уравнения у удовлетворяющего начальному условию при .

Решение

Разделим отрезок на 10 равных частей точками

Следовательно, значения будем искать по формуле (2.1)

или

Таким образом, получаем

В процессе решения составим таблицу

=0	1,000	1,000	0,100
=0,1	1,100	1,200	0,120
=0,2	1.220	1,420	0.142
=0,3	1,362	1,620	0,162
=0,4	1,524	1,924	0,1924
=0,5	1,7164	2,2164	0,2216
=0,6	1.9380	2.5380	0.2538
=0,7	2,1918	2.8918	0,2892
=0.8	2.4810	3.2810	0.3281
=0,9	2,8091	3,7091	0,3709
=1,0	3,1800

Мы нашли приближенное значение

Точное решение данного уравнения, удовлетворяющее укзанным начальным условиям, будет

Следовательно

Вопросы для самопроверки:

1. В чем заключается метод Эйлера для решения задачи Коши?

 

Тема занятия: Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (метод Эйлера для решения задачи Коши)

Рассмотрим приближенное решение уравнения (1) на отрезке .удовлетворяющее начальному условию при . Разделим отрезок точками на равных частей (здесь ). Обозначим , следовательно,

Пусть есть некоторое приближенное решение уравнения(1) и

Обозначим

В каждой из точек в уравнении (1) производную заменим отношением конечных разностей: (2) ; (2.1)

При будем иметь , или

В этом равенстве известны, следовательно находим

При уравнение (2.1) примет вид или ;

где -известны. Аналогично находим

Т.О. приближенные значения решения в точках найдены. Соединяя на координатной плоскости точки отрезками прямой, получим ломаную - приближенное изображение интегральной кривой. Эта ломаная называется ломаной Эйлера.

Пример: При найти приближенное значение решения уравнения у удовлетворяющего начальному условию при .

Решение

Разделим отрезок на 10 равных частей точками

Следовательно, значения будем искать по формуле (2.1)

или

Таким образом, получаем

В процессе решения составим таблицу

=0	1,000	1,000	0,100
=0,1	1,100	1,200	0,120
=0,2	1.220	1,420	0.142
=0,3	1,362	1,620	0,162
=0,4	1,524	1,924	0,1924
=0,5	1,7164	2,2164	0,2216
=0,6	1.9380	2.5380	0.2538
=0,7	2,1918	2.8918	0,2892
=0.8	2.4810	3.2810	0.3281
=0,9	2,8091	3,7091	0,3709
=1,0	3,1800

Мы нашли приближенное значение

Точное решение данного уравнения, удовлетворяющее укзанным начальным условиям, будет

Следовательно

 

 

Контрольная работа

1.Материальная точка массой m кг движется прямолинейно по закону S(t).

Найти силу, действующую на нее в момент времени t.

Вариант 1 m= 2 кг с;

Вариант 2 m= 3 кг (м) с;

Вариант 3 m= 4 кг с.;

Вариант 4 m= 3 кг (м) с;

Вариант 5 m= 2 кг (м) с;

Вариант 6 m= 4 кг (м) с;;

Вариант 7 m= 2 кг с;

Вариант 8 m= 2 кг с;

Вариант 9 m= 2 кг с;

Вариант 10 m= 2 кг с;

 

2. Вариант 1.Напишите уравнение касательной к графику функции в точке .

Вариант 2. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке . ;

Вариант 3. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке . ;

Вариант 4. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке . ;

Вариант 5. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке . ;

Вариант 6. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке . ; .

Вариант 7. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке . ;

Вариант 8. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке . ;

Вариант 9. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке . ;

Вариант 10. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке . ;

3.Исследуйте функцию и постройте ее график:

Вариант 1. Вариант 2. ;

Вариант 3. ; Вариант 4. ;

Вариант 5. ; Вариант 6. ;

Вариант 7. ; Вариант 8. ;

Вариант 9. ; Вариант 10. .

 

 

4. Решите задачу:

Вариант 1.

Два тела движутся по прямой из одной и той же точки. Первое тело движется со скоростью м/с, второе – со скоростью м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?

Вариант 2.

Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью м/с, второе – со скоростью м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10 с?

Вариант 3.

Скорость движения точки м/с. Найдите путь, пройденный за 5 с. от начала движения.

Вариант 4.

Скорость движения точки м/с. Найдите ее путь за 2-ю секунду.

Вариант 5.

Скорость движения точки м/с. Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

Вариант 6.

Скорость движения точки м/с. Найдите: 1)Путь пройденный точкой за 3 с. от начала движения; 2)Путь пройденный точкой за 3-ю секунду.

Вариант 7.

Пружина растягивается на 0,02 м под действием силы 60 Н. Какую работу производит эта сила, растягивая пружину на 0,12?

Вариант 8.

Под действием силы 80 Н пружина растягивается на 0,02 м. Первоначальная длина пружины равна 0,15 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее до 0,2 м.

Вариант 9.

Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,1 м. сила в 20 Н растягивает ее на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,12 до 0,14 м?

Вариант 10.

При сжатии пружины на 0,05 м совершается работа 30 Дж. Какую работу необходимо совершить чтобы сжать пружину на 0.08 м?

5. Найдите общие решения уравнений:

Вариант 1. ; Вариант 2. ;

Вариант 3. ; Вариант 4. ;

Вариант 5. ; Вариант 6. ;

Вариант 7. ; Вариант 8. ;

Вариант 9. ; Вариант 10.

6. Используя признак Даламбера, исследуйте сходимость ряда:

 

Вариант 1. ; Вариант 2. ;

 

Вариант 3. ; Вариант 4. ;

 

Вариант 5. ; Вариант 6. ;

Вариант 7. ; Вариант 8. ;

Вариант 9. ; Вариант10. .

 

7. Дискретная величина распределяется по закону.

1.Начертить график (т. е. построить многоугольник распределения):

2.Найти математическое ожидание:

3.Найти дисперсию и среднее квадратичное ожидание:

Вариант 1 Х 2 4 7 9 Вариант 2. Х 2 4 5 6

 

Р 0,1 0,6 0,2 0,1 Р 0,3 0,1 0,2 0,4

Вариант 3. Х 10 15 20 Вариант 4. Х 2 4 6

 

Р 0,1 0,7 0,2 Р 0,1 0,7 0,2

Вариант 5. Х 2 3 4 9 Вариант 6. Х 12 14 16

Р 0,3 0,1 0,2 0,4 Р 0,2 0,6 0,2

Вариант 7. Х 1 3 5 7 Вариант 8. Х 2 4 6 8

Р 0,3 0,1 0,2 0,4 Р 0,5 0,1 0,3 0,1

Вариант 9. Х 1 3 7 2 Вариант 10. Х 2 4 6

Р 0,3 0,1 0,2 0,4 Р 0,1 0,7 0,2

 

Методические указания

по изучению дисциплины Математика

 

 

для специальности 140414.51 Техническая эксплуатация

и обслуживание электрического

и электромеханического

оборудования (по отраслям)

 

Уровень подготовки базовый

 

 

Тольятти 2012

 

Методика изучения математики

студентами-заочниками

Основной формой обучения студентами-заочниками является самостоятельная работа над учебным материалом. В помощь заочникам техникум организует чтение лекций, практические занятия. Кроме того, студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получения письменной или устной консультации. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольной работы. Однако студент должен помнить, что только при систематической и упорной самостоятельной работе помощь техникума будет эффективной.

 

 

Чтение учебника

1. Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, проделывая на бумаге все вычисления(в том числе и те, которые ради краткости опущены в учебнике) и воспроизведя имеющиеся в учебнике чертежи.

2. Особое внимание следует обращать на определение основных понятий курса, которые отражают количественную сторону или пространственные свойства реальных объектов и процессов и возникают в результате абстракции из этих свойств и процессов. Без этого невозможно успешное изучение математики. Студент должен подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно.

3. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется вы писывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т. п. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные студентом для получения письменной или устной консультации преподавателя.

4. Письменное оформление работы студента имеет исключительно важное значение. Записи следует вести аккуратно, не нужно забывать, что они делаются для того, чтобы впоследствии пользоваться ими. Хорошее внешнее оформление конспекта по изученному материалу не только приучит студента к необходимому в работе порядку, но и позволит ему избежать многочисленных ошибок, которые происходят из-за небрежных, беспорядочных записей.

5. Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при перечитывании конспекта они выделялись и лучше запоминались. Опыт показывает, что многим студентам помогает в работе составление листа, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой лист не только помогает запомнить формулы, но и может служить постоянным справочником для студента.

 

Решение задач

1. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, примеров, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь.

2. При решении нужно обосновать каждый этап решения исходя из теоретических положений курса. Если студент видит несколько путей решения задачи, то он должен их и выбрать из них самый лучший. Полезно до начала вычислений составить краткий план решения.

3. Решение задач и примеров следует излагать подробно, вычисления должны располагаться в строгом порядке, при этом рекомендуется отделять вспомогательные вычисления от основных. Ошибочные записи следует не стирать, а зачеркивать. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями. Если чертеж требует особо тщательного выполнения, например при графической проверке решения, полученного путем вычислений, то следует пользоваться линейкой, транспортиром и т.п..

4. Решение должно доводиться до ответа, требуемого условием,