Свойства представления чисел в дополнительном коде

Диапазон представления на n-разрядной сетке	от -2n-1 до 2n-1 – 1 Например: для n= 8 от -2-7 до 27 -1 от -128 до 127
Количество кодовых комбинаций, соответствующих числу 0	Одна
Отрицание	1. Инвертировать значение в каждом разряде представления исходного числа, включая знаковый разряд, т.е. установить занчение 1 в тех разрядах, где ранее был 0, а значение 0 – в тех разрядах, где ранее было значение 1. (Эту операцию иногда называют поразрядным дополнением, а ее результат инверсным кодом). 2. Сложить образовавшееся число с числом 0…001 по правилам сложения чисел без знака. Иногда эту операцию называют вычислением дополнения числа в дополнительном коде. +18 = 00010010 (дополнительный код) Поразрядное дополнение = 11101101 + 1 11101110 = -18 Проверим правило, гласящее, что отрицание отрицания равно исходному числу -18 = 11101110 (дополнительный код) Поразрядное дополнение = 00010001 + 1 00010010 = +18 Примечание. Операция отрицания числа представленного в прямом коде выполняется очень просто – нужно инвертировать значение знакового разряда.
Расширение разрядности представления	Добавить дополнительные разряды слева и заполнить их значением, равным значению в знаковом разряде.   +18 00010010 дополнительный код, 8 разрядов +18 00000000 00010010 дополнительный код, 16 разрядов   -18 11101110 дополнительный код, 8 разрядов -18 11111111 11101110 дополнительный код, 16 разрядов
	Примечание. Для чисел представленных в прямом коде расширение сетки выполняется очень просто: нужно перенести знаковый разряд в крайний левый бит нового слова, а остальные биты дополнить 0.   +18 00010010 прямой код, 8 разрядов +18 00000000 00010010 прямой код, 16 разрядов   -18 10010010 прямой код, 8 разрядов -18 10000000 00010010 прямой код, 16 разрядов
Определение переполнения при сложении	Если оба слагаемых имеют одинаковые знаки (оба положительны или оба отрицательны), то переполнение возможно только в том случае, когда знак суммы оказывается отличным от знаков слагаемых: Знаковые разряды: + 0 +1 01 1 0

Положительные числа в прямом и дополнительном кодах имеют одинаковое представление.

Таблица 2. Варианты двоичного 4-разрядного представления целых чисел

Десятичное представление	Прямой код	Дополнительный код
+7
+6
+5
+4
+3
+2
+1
+0
-0		-
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8	-

Чтобы получить представление двоичного отрицательно числа в дополнительном коде нужно над модулем числа выполнить операцию отрицания.

Представить число 27₁₀ как восьмиразрядное двоичное положительное и отрицательное число в дополнительном коде.

 

-27
	-13
		-6
			-3

27₁₀ = 11011₂

В двоичном представлении исходное число имеет 5 значащих цифр. Для восьмиразрядного представления нужно слева добавить три 0.

 

+27	=
		Операция отрицания
	+
-27

 

Проверим результат, используя правило - отрицание отрицания равно исходному числу.

 

-27
		Операция отрицания
	+
+27

 

Для преобразования между десятичным представление и двоичным представлением отрицательного числа в дополнительном коде можно использовать диаграмму веса разрядов. Рассмотри пример для восьмиразрядных чисел. Для получения кода заданного числа нужно набрать из чисел, соответствующих целой степени 2, положительное число, которое в сумме с числом (-128) даст необходимое число. В графах чисел, входящих в сумму нужно поставить 1, а остальные графы в этой строке заполнить 0.

Таблица 3.

Числа	27	26	25	24	23	22	21	20	Результаты вычислений
-128
-123									-128 + 4 + 1 = -123
-87									-128 + 64 + 16 + 4 + 1 = -87
-10									-128 + 64 + 32 + 16 + 4 + 2 = - 10
-27									-128 + 64 + 32 + 4 + 1 = -27

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Выполнить задание:

представить заданные числа в прямом коде;

представить заданные числа в дополнительном коде, используя операцию отрицания и таблицу весов.

 

«ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ НАД ЧИСЛАМИ В ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ КОДЕ»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Выполнение операции рассмотрим на примерах. Если результат операции должен быть положительным, получается код положительного числа в дополнительном коде, а если отрицательным – код отрицательного числа. При выполнении операции могут возникать переносы в старший разряд и переполнение разрядной сетки. При переносе старший (самый левый бит) игнорируется. При переполнении необходимо представить оба слагаемых в расширенной разрядной сетке и выполнить операцию сложения в новой разрядной сетке. Выполняем действия над числами в десятичной и двоичной системах счисления. Если результата – отрицательное число, для проверки нужно выполнить над ним операцию отрицания; если получим противоположное ему положительное число, значит сложение выполнено правильно. При выполнении операции сложения слагаемые записываются в заданном представлении чисел: если слагаемое положительное – оно записывается как положительное число в дополнительном коде; если слагаемое отрицательное число, оно записывается как отрицательное число в дополнительном коде. Правильность записи чисел в нижеприведенных примерах можно проверить используя таблицу 2 «Варианты двоичного 4-разрядного представления целых чисел».

Сложение. Обозначим слагаемые как S₁ и S₂

S1

- 7

+1

S2

+5

- 2

=-2

Проверка:

операция

отрицания

+0

=+2

S1

- 4

+1

S2

+4

1

= 0

перенос

S1

+3

+0

S2

+4

+7

1

=+7

S1

- 4

+1

S2

- 1

- 5

1

=-5

перенос

Проверка:

операция

отрицания

+0

=+5

S1

+5

+0

S2

+4

+9

=+9

переполнение

Выполним расширение разрядной сетки до 8 разрядов:

 

								=+9

 

S1

- 7

+1

S2

- 6

-13

=-13

переполнение

 

Выполним расширение разрядной сетки до 8 разрядов:

 

1									=-13	Перенос
Выполним проверку:
	+0
									=+13

 

Вычитание. Обозначим уменьшаемое как М, а вычитаемое как S

Для выполнения операции вычитания необходимо предварительно выполнить операцию отрицания над вычитаемым, а затем сложить результат с уменьшаемым по правилам сложения чисел в дополнительном коде.

В случаях переноса, переполнения, расширения разрядной сетки, проверке результат, если получено отрицательное число, действия аналогичны тем, которые производятся при операции сложения.

 

М

+2

1)

=

=

-7

=

S

+7

+7

- 5

-7

2)

М +

+0

=

-5

Проверка:

операция

отрицания

=

+5

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

1. Выполнить задание операции сложения и вычитания над числами в дополнительном коде.

2. Отметить все возникающие переносы и переполнения. В случае переполнения выполнить расширение разрядной сетки

3. Выполнить проверку результатов