Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для выполнения перевода вещественных чисел необходимо отдельно перевести целую и дробную части числа. Для перевода целой части числа необходимо:

целую часть числа разделить на основание новой системы счисления;

если полученное частное больше либо равно основанию новой системы счисления, нужно частное разделить на основание новой системы счисления; деление продолжать, пока частное от деления не окажется меньше основания новой системы счисления.

выписать частные от деления в обратном порядке, начиная с последнего; это и будут цифры числа в новой системе счисления.

Для перевода дробной части числа необходимо:

дробную часть числа умножить на основание новой системы счисления;

выделить в произведении целую часть числа; это и будут цифры числа в новой системе счисления.

умножение дробной части числа продолжать, пока не будет достигнута необходимая точность числа либо промежуточное произведение не окажется равным 0.

Перевести число 137,65₁₀ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. После запятой взять 4 знака. Выполнить проверку целой дробной части числа.

 

-137									0,	´65
	-68
1		-34							1	´30
			-17
				-8						´60
					-4
						-2				´20
						0

 

137,65₁₀ = 10001001,1010₂

Проверим правильность перевода с помощью десятичной системы счисления.

 

1⁷ 0⁶ 0⁵ 0⁴ 1³ 0² 0¹ 1⁰,1^-1 0^-2 1^-3 0^-4 ₂ = 1´2⁷ + 1´2³ + 1´2⁰ + 1´2^-1 + 1´2^-3 = 128 + 8 + 1 + 0,5 + 0,125 = 137,625₁₀

-137				0,	´65
	-17
					´20
					´60

 

					´80

137,65₁₀ = 211,5146₈

Проверим правильность перевода с помощью десятичной системы счисления.

2² 1¹ 1⁰, 5^-1 1^-2 4^-3 6^-4 ₈ = 2´8² + 1´8¹ + 1´8⁰ + 5´8^-1 + 1´8^-2 + 4´8^-3 + 6´8^-4 = 128 + 8 + 1 + 0,625 + 0,015625 + 0,0078125 + 0,0014648 = 137,6499023₁₀

 

-137				0,	´65
					´40
					´40
					´40

137,65₁₀ = 89,A666₁₆

Проверим правильность перевода с помощью десятичной системы счисления.

8¹ 9⁰, A^-1 6^-2 6^-3 6^-4 ₈ = 8´16¹ + 9´16⁰ + 10´16^-1 + 6´16^-2 + 6´16^-3 + 6´16^-4 = 128 + 9 + 0,625 + 0,0234375 + 0,0014648 + 0,00009 = 137,6499923₁₀

При проверке выполненных переводов целая часть равна во всех случаях, а дробная меньше, чем искомая, так как при переводе дробной части не получилось произведения равного 0.

Взаимосвязь двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления.

Перевести число 7F1,A3₁₆ в восьмеричную систему счисления.

Для выполнения перевода необходимо число из шестнадцатеричной системы счисления перевести в двоичную, а затем из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.

	F		,	A	316
			,		00112

 

 

				,			1102
				,			68

7F1,A3₁₆ = 3751,506₈

Проверим правильность перевода с помощью десятичной системы счисления.

7² F¹ 1⁰,A^-1 3^-2 ₁₆ = 7´16² + 15´16¹ + 1´16⁰ + 10´16^-1 + 3´16^-2 = 1792 + 240 + 1 + 0,625 + 0,01171875 = 2033,63671875₁₀

3³ 7² 6¹ 1⁰, 5^-1 0^-2 6^-3 ₈ = 3´8³ + 7´8² + 6´8¹ + 1´8⁰ + 5´8^-1 + 0´8^-2 + 6´8^-3 = 1536 + 448 + 48 + 1 + 0,625 + 0,01171875 = 2033,63671875₁₀

Так при проверке получен одинаковый результат, то перевод выполнен верно.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

1. Представьте следующие числа в виде позиционной записи:

576; 842,3; 1924,803; 10000; 0100,00; 0,002

2. Имеются позиционные записи десятичных чисел:

8×10² + 5×10¹ + 3×10⁰ + 7×10^-1 + 6×10^-2;

0×10⁴ + 1×10³ + 8×10² + 4×10¹ + 0×10⁰ + 0×10^-1 + 9×10^-2;

9×10⁵ + 4×10³ + 3×10⁰ + 4×10^-2 + 4×10^-3

Чему равны сами числа?

3. Запишите алфавит 4-ричной, 7-ричной, 12-ричной систем счисления.

4. Выполнить задание, указанное в карточке:

перевести указанное число в 8-ную и 16-ную системы счисления и выполнить проверку целой части чисел;

перевести указанное число в 2-ную и 2-10-ную системы счисления, выполнить проверку целой и дробной части числа в 2-ной системе счисления;

перевести указанное число в 8-ную или 16-ную систему счисления, используя их взаимосвязь с 2-ной системой счисления; выполнить проверку целой и дробной части числа исходного и полученного числа;

перевести указанное число в 2-ной системе счисления в 10-ную, 8-ную и 16-ную системы счисления и выполнить проверку целой и дробной части чисел.

«АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ДВОИЧНЫМИ ЧИСЛАМИ БЕЗ ЗНАКА»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Правила выполнения арифметических операций над числами в двоичном коде представлены в таблице:

 

Сложение	Вычитание	Умножение
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 и единица переноса в старший разряд	0 - 0 = 0 1 - 1 = 0 1 - 0 = 1 0 - 1 = 1 единица, занятая в старшем разряде, переходит в младший разряд как две единицы	0 ´ 0 = 0 0 ´ 1 = 0 1 ´ 0 = 0 1 ´ 1 = 1 Умножение и деление выполняется аналогично этим действиям в десятичной системе счисления