Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что если есть точка сходимости степенного ряда, то интервал весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях х вне этого интервала ряд расходится.

Интервал и называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив , интервал сходимости можно записать в виде (-R;R). Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т.е. R>0 – это такое число, что при всех х, для которых , ряд абсолютно сходится, а при – расходится.

В частности, когда ряд сходится лишь в одной точке , то считаем, что R=0. Если же ряд сходится при всех значениях , то считаем, что .

Отметим, что на концах интервала сходимости (т.е. при х= R и при х= -R) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда

и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел

,

По признаку Даламбера ряд сходится, если , т.е. ряд сходится при тех значениях х, для которых ; ряд, составленный из модулей члена ряда , расходится при тех значениях х, для которых .Таким образом, для ряда радиус абсолютной сходимости

Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно установить, что

Свойства степенных рядов

1. Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R;R).

2. Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно и , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел и .

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда

при –R<x<R выполняется равенство

Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда при –R<a<x<R выполняется равенство

Ряды и имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

Разложение функций в степенные ряды

Ряды Тейлора и Маклорена

Как известно, для любой функции определенной в окрестности точки и имеющей в ней производные до (n+1)- го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

где – остаточный член в форме Лагранжа. Число с можно записать в виде , где . Формулу кратко можно записать в виде , где – многочлен Тейлора.

Если функция имеет производные любых порядков в окрестности точки и остаточный член стремится к нулю при , то из формулы Тейлора получается разложение функции по степеням , называемое рядом Тейлора:

Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням х в так называемый ряд Маклорена:

Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки . Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функции ; он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции .

Теорема1

Для того чтобы ряд Тейлора функции сходился к в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при , т.е. чтобы 0.

Пусть ряд Тейлора сходится к функции в некоторой окрестности точки , т.е. . Так как n -я частичная сумма ряда совпадает с многочленом Тейлора , т.е. находим:

Обратно, пусть 0. Тогда

Теорема2

Если модули всех производных функций ограничены в окрестности точки одним и тем же числом М>0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора функции сходится к функции , т.е. имеет место разложение .

Согласно теореме1, достаточно показать, что 0. По условию теоремы2 для любого n имеет место неравенство . Тогда имеем:

Осталось показать, что . Для этого рассмотрим ряд

Так как , то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда, в силу необходимого признака сходимости,

Следовательно, 0

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Для разложения функции в ряд Маклорена нужно:

А) найти производные , ,…, ,..;

Б) вычислить значения производных в точке ;

В) написать ряд для заданной функции и найти его интервал сходимости;

Ґ) найти интервал (-R;R), в котором остаточный член ряда Маклорена при . Если такой интервал существует, то в нем функция и сумма ряда Маклорена совпадают.

Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

Докажем формулу.

Пусть

Имеем:

А)

Б)

В) , т.е. ряд сходится в интервале ;

Ґ) для всех имеем , т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом . Следовательно, . Таким образом, .

Докажем формулу.

Пусть f(x)=sin x

Имеем:

А)

Б)

В) Легко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т.е. при всех

Ґ) любая производная функция f(x)=sin x по модулю не превосходит единицы, . Следовательно, имеет место разложение f(x)=sin x.

Докажем формулу

Пусть f(x)=cos x

Формулу f(x)=cos x можно доказать так же, как и формулу f(x)=sin x. Однако проще получить разложение функции cos x, воспользовавшись свойством 3 степенных рядов. Продифференцировав почленно ряд f(x)=sin x, получим:

Докажем формулу

Пусть ,

Имеем:

А)

Б)

В)

Ґ) , т.е. составленный для функции ряд сходится в интервале (-1;1), остаточный член стремится к нулю при .

Ряд называется биномиальным. Если , то все члены ряда с (n+1)- го номера равны 0, так как содержат множитель . В этом случае ряд представляет собой известную формулу бинома Ньютона:

Докажем формулу

Пусть

Формула может быть получена разными способами:

1)пользуясь правилом разложения функции в ряд;

2)рассматривая ряд как ряд геометрической прогрессии, первый член которой равен 1 и знаменатель q=x; известно, что данный ряд сходится при и его сумма равна

3)воспользовавшись формулой : положив в ней и заменив х на –х, получим формулу .

Докажем формулу

Пусть f(x)=ln (1+x)

Формула f(x)=ln (1+x) также может быть доказана разными способами. Приведем один из них.

Рассмотрим равенство ,

справедливое для всех . Используя свойство 4 степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке [0;x], :

или

Докажем формулу

Пусть f(x)=arctg x

Положив в формуле и заменив х на , получим равенство

Тогда

или

Докажем формулу

Пусть f(x)=arcsin x

Положив в формуле и заменив х на , получим равенство

Тогда

или