Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-05-14 | 566 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.
Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм:
1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд (теорема Дирихле)
2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами и можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна + (или соответственно - )
3. Под произведением двух рядов и понимают ряд вида
Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами и есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна .
Степенные ряды
Функциональные ряды
Основные понятия
Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным:
Придавая х определенное значение , мы получим числовой ряд
,
который может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости ряда ; если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.
Совокупность числовых значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называются его областью сходимости.
В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от х: S=S(x). Определяется она в области сходимости равенством ,где – частичная сумма ряда.
|
Среди функциональных рядов особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т.е. так называемый степенной ряд:
Действительные (или комплексные) числа называются коэффициентами ряда, - действительная переменная.
Ряд расположен по степеням х. Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням , т.е. ряд вида , где – некоторое постоянное число.
Сходимость степенных рядов.
Область сходимости степенного ряда содержит по крайней мере одну точку: х=0 (ряд сходится в точке)
Теорема Н. Абеля
Теорема
Если степенной ряд сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству
По условию ряд сходится. Следовательно, по необходимому признаку сходимости . Отсюда следует, что величина ограничена, т.е. найдется такое число М >0, что для всех n выполняется неравенство , n=1, 2,..
Пусть , тогда величина и, следовательно, , т.е. модуль каждого члена ряда не превосходит соответствующего члена сходящегося (q<1) ряда геометрической прогрессии. Поэтому по признаку сравнения при ряд абсолютно сходящийся.
Следствие
Если ряд расходится при , то он расходится и при всех х, удовлетворяющих неравенству
Действительно, если допустить сходимость ряда в точке , для которой , то по теореме Абеля ряд сходится при всех х, для которых , и, в частности, в точке , что противоречит условию.
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!