Вероятностные методы анализа отклонений параметров

Сущность методов этой группы заключается в том, что отклонения параметра рассматривается как случайная величина, определяемая законами распределения отклонений Dx_j параметров x_j. Воспользовавшись результатами разложением в ряд Тейлора (п.1.1) зависимости (1.2) получим

.

Найдем математическое ожидание и дисперсию величины x, предполагая для упрощения его симметричное отклонение (номинальное значение x_н совпадает с центром поля допуска x₀). В этом случае имеем

(1.12)

где x₀+Dx₀=M(x+Dx), x₀=M(x) и так как

(1.13)

M(x+Dx)=M(x)+M(Dx)

D(x+Dx)=D(x)+D(Dx)

то , где Dx_j0=M(Dx_j).

Полагая и , найдем или с учетом формулы (1.5)

,

где x_j0=M(x_j).

Для относительных значений, обозначив и , получим

и .

При использовании приведенных формул следует иметь в виду, что, не смотря на некоторые допущения, сделанные при их выводе (малость величин Dx_j и т.д.), они пригодны для определения величин математического ожидания и дисперсии отклонения Dx при любых видах распределения параметров x_j и их отклонений Dx_j (j =1,2,..., n). Причем при достаточно большой величине n (более 12-15) можно считать, что распределения параметра x и отклонения Dx являются нормальными (или усеченными нормальными) при любых видах распределения параметров x_j и их отклонений Dx_j.

Основное достоинство методов указанной группы заключается в высокой точности получаемых результатов, учитывающих случайный характер отклонений параметров x_j от их номинального значения. Недостатком этих методов является определенная сложность и громоздкость расчетов, особенно в тех случаях, когда распределения параметров x_j и (или) их отклонений Dx_j отличаются от нормального.

Если отклонения Dx_j параметров x_j обусловлены влиянием каких-либо внешних воздействий, они не могут считаться независимыми случайными величинами. В этом случае по аналогии с формулами (1.12) и (1.13) можно получить

или

,

.

Ввиду того, что в большинстве практических случаев определение отклонений параметров производится при предельных величинах воздействий y_k, можно считать, что .

Полагая и max(Dy_k)=Dy_k0, окончательно получим

и .

С учетом формулы (1.5) полученные выражения приводятся к виду

и ,

где и

Переходя к относительным значениям и полагая, как и ранее, и , получим

и .

Приведенные выше формулы для определения величин и справедливы только в тех случаях, когда отклонения Dх_j параметров х_j либо являются независимыми случайными величинами, либо обусловлены влияниями внешних воздействий. В случае наличия корреляционных зависимостей величины и рассчитываются с учетом соответствующих коэффициентов корреляции.

В отдельных случаях, когда используемые в СВТ функциональные элементы содержат сравнительно боль­шое количество компонентов (более 12..15), или несколько функциональ­ных зависимостей применение приведенных выше методов все же является сравнительно сложным про­цессом. В подобных случаях коэффициенты влияния наиболее эффективно определять экспериментально.