Средние уровни в рядах динамики

Теоретическая часть

 

Средняя величина – это обобщающая величина изучаемого признака в исследуемой совокупности, которая отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. Для выяснения сущности средней величины необходимо рассмотреть особенности формирования значений признаков тех явлений, по данным которых исчисляют среднюю величину.

Известно, что единицы каждого массового явления обладают многочисленными признаками. Какой бы из этих признаков мы ни взяли, его значения у отдельных единиц будут различными, они изменяются, или, как говорят в статистике, варьируют от одной единицы к другой. Так, например, заработная плата работника определяется его квалификацией, характером труда, стажем работы и целым рядом других факторов, поэтому изменяется в весьма широких пределах. Совокупное влияние всех факторов определяет размер заработка каждого работника, тем не менее можно говорить о среднемесячной заработной плате работников разных отраслей экономики. Здесь мы оперируем типичным, характерным значением варьирующего признака, отнесенным к единице многочисленной совокупности.

Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. В то же время она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их. Уровень (или размер) любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов. Одни из них являются общими и главными, постоянно действующими, тесно связанными с природой изучаемого явления или процесса, и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине. Другие являются индивидуальными, их действие выражено слабее и носит эпизодический, случайный характер. Они действуют в обратном направлении, обусловливают различия между количественными признаками отдельных единиц совокупности, стремясь изменить постоянную величину изучаемых признаков. Действие индивидуальных признаков погашается в средней величине. В совокупном влиянии типичных и индивидуальных факторов, которое уравновешивается и взаимно погашается в обобщающих характеристиках, проявляется в общем виде известный из математической статистики фундаментальный закон больших чисел.

В совокупности индивидуальные значения признаков сливаются в общую массу и как бы растворяются. Отсюда и средняя величина выступает как «обезличенная», которая может отклоняться от индивидуальных значений признаков, не совпадая количественно ни с одним из них. Средняя величина отражает общее, характерное и типичное для всей совокупности благодаря взаимопогашению в ней случайных, нетипичных различий между признаками отдельных ее единиц, так как ее величина определяется как бы общей равнодействующей из всех причин.

Однако для того, чтобы средняя величина отражала наиболее типичное значение признака, она должна определяться не для любых совокупностей, а только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. Это требование является основным условием научно обоснованного применения средних величин и предполагает тесную связь метода средних величин и метода группировок в анализе социально-экономических явлений. Следовательно, средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Определяя, таким образом, сущность средних величин, необходимо подчеркнуть, что правильное исчисление любой средней величины предполагает выполнение следующих требований:

· качественная однородность совокупности, по которой вычислена

средняя величина. Это означает, что исчисление средних величин должно основываться на методе группировок, обеспечивающем выделение однородных, однотипных явлений;

· исключение влияния на вычисление средней величины случайных,

сугубо индивидуальных причин и факторов. Это достигается в том случае, когда вычисление средней основывается на достаточно массовом материале, в котором проявляется действие закона больших чисел, и все случайности взаимопогашаются;

· при вычислении средней величины важно установить цель ее расчета

и так называемый определяющий показатель (свойство), на который она должна быть ориентирована. Определяющий показатель может выступать в виде суммы значений осредняемого признака, суммы его обратных значений, произведения его значений и т.п. Связь между определяющим показателем и средней величиной выражается в следующем: если все значения осредняемого признака заменить средним значением, то их сумма или произведение в этом случае не изменит определяющего показателя. На основе этой связи определяющего показателя со средней величиной строят исходное количественное отношение для непосредственного расчета средней величины. Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.

Средняя величина, рассчитанная в целом по совокупности, называется общей средней; средние величины, рассчитанные для каждой группы, - групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Способы расчета могут быть разные, поэтому в статистике различают несколько видов средней величины.

Средние величины делятся на 2 больших класса:

степенные средние (средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая и др.). Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Если рассчитывать все виды степенных средних для одних и тех же данных, то их значения окажутся одинаковыми. Тогда действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени средних увеличивается и сама средняя величина ().

структурные средние (мода, медиана). Мода и медиана определяются лишь структурой распределения. Поэтому их именуют «структурными позиционными средними». Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.

 

Степенные средние

 

Для наглядности наиболее часто применяемые в практических исследованиях формулы вычисления различных видов степенных средних величин представлены в Таблице 1.

Таблица 1

Виды степенных средних

Вид степенной средней	Показатель степени	Формула расчета
		Простая	Взвешенная
1. Гармоническая	-1		, где
2. Геометрическая	0
3. Арифметическая	1

 

Рассмотрим их подробнее.

 

Средняя арифметическая величина

 

Средняя арифметическая величина представляет собой такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Для того чтобы исчислить среднюю арифметическую, необходимо сумму всех значений признаков разделить на их число.

Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Примером средней арифметической может служить общий фонд заработной платы – это сумма заработных плат всех работников.

Средняя арифметическая простая величина равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений. Она применяется в тех случаях, когда имеются несгруппированные индивидуальные значения признака.

Средняя арифметическая взвешенная – это средняя их вариант, которые повторяются различное число раз или имеют различный вес.

Основные свойства средней арифметической:

1. Если индивидуальные значения признака, т.е. варианты, уменьшить

или увеличить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в i раз.

2. Если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить

на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число.

3. Если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в k

раз, то средняя арифметическая не изменится.

4. Сумма отклонений отдельных значений признака (вариант) от

средней арифметической равна нулю.

Прежде чем выполнять расчет средней величины необходимо преобразовать интервальный ряд в дискретный. Для этого находят середину интервала в каждой группе. Ее определяют делением суммы верхней и нижней границы пополам.

 

Средняя гармоническая величина

 

Определяющим свойством средней гармонической величины состоит в том, чтобы при осреднении оставалась неизменной сумма величин, обратных осредняемым.

Формула средней гармонической взвешенной величины применяется тогда, когда статистическая информация не содержит частот  по отдельным вариантам x совокупности, а представлена как произведение . Для того чтобы исчислить среднюю, необходимо обозначить , откуда . Теперь преобразуем формулу средней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся данным x и m можно было исчислить среднюю. В формулу средней арифметической взвешенной вместо  подставим m, а вместо f – отношение , и таким образом получим формулу средней гармонической взвешенной.

С редняя гармоническая простая величина применяется в тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице, т.е. ,

 

Средняя геометрическая величина

 

Средняя геометрическая величина применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

 

Структурные средние

Средние величины, описанные выше, дают обобщенное представление об изучаемой совокупности, и с этой точки зрения их теоретическое, прикладное и познавательное значение бесспорно. Но бывает, что величина средней не совпадает ни с одним из реально существующих вариантов, поэтому кроме рассмотренных средних в статистическом анализе целесообразно использовать величины конкретных вариантов, занимающие в упорядоченном (ранжированном) ряду значений признака вполне определенное положение. Среди таких величин наиболее употребительными являются структурные, или описательные, средние мода () и медиана ().

 

Мода

 

Мода – значение признака, которое имеет наибольшую частоту в статистическом ряду распределения.

Отыскание моды производится по-разному, и это зависит от того, представлен ли варьирующий признак в виде дискретного или интервального ряда. Поиск моды в дискретном ряду происходит путем простого просматривания столбца частот. В этом столбце находится наибольшее число, характеризующее наибольшую частоту. Ей соответствует определенное значение признака, которое и является модой. Может оказаться, что два признака имеют одинаковую частоту. В этом случае ряд будет называться бимодальным.

В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают центральный вариант интервала с наибольшей частотой. В таком ряде распределения мода вычисляется по формуле:

 

где

 

 

- нижняя граница модального интервала;

- модальный интервал;

- частота в модальном интервале;

- частота интервала перед модальным интервалом;

- частота интервала после модального интервала.

Мода широко используется в статистической практике при изучении, например, покупательского спроса, регистрации цен и т.д.

Медиана – это вариант, расположенный в центре ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медиану, необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда.

В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы по формуле:

 

, где

n – число членов ряда.

В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

В интервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на две равные по численности части) оказывается в каком-то из интервалов признака x. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется по формуле:

 

 

, где

- нижняя граница медианного интервала;

- медианный интервал;

- половина от общего числа наблюдений;

- сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;

- число наблюдений в медианном интервале.

 

Задание 9

 

1. Определите по первичным данным Таблицы 3 (гр. 1)

среднегодовую стоимость основных производственных фондов в расчете на одно предприятие.

2. Постройте статистический ряд распределения предприятий по

среднегодовой стоимости основных производственных фондов, образовав четыре группы предприятий с равными интервалами, охарактеризовав их числом предприятий и их удельным весом.

По ряду распределения (п.2) рассчитайте среднегодовую стоимость основных производственных фондов, взвешивая варианты признака: а) по числу предприятий; б) по удельному весу предприятий.

Сравните полученную среднюю с п.1, поясните их расхождение.

3. Имеются данные о финансовых показателях предприятий фирмы

за отчетный период (Таблица 2):

Таблица 2

Таблица 3

Имеются выборочные данные (выборка 5%-я механическая) о среднегодовой стоимости основных производственных фондов и выпуске продукции предприятий отрасли экономики за отчетный период, млн. руб.

Таблица 5

Статистический ряд распределения предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов

 

Группы	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов
20-30	20
	26
	27
	28
	29
30-40	33
	33
	35
	36
	37
	37
	38
	39
40-50	41
	41
	42
	44
	45
	46
	46
	47
	49
	49
50-60	53
	55
	55
	56
	56
	57
	60

Взвесим варианты признака по числу предприятий и по их удельному весу:

3.

 

 , где

 - рентабельность капитала;

 – прибыль;

– капитал.

 

а)

б)

 

в)

 

г)

, где

 - удельный вес акционерного капитала в общем объеме.

 

Значит:

;

;

.

 

 

Тогда:

;

;

.

 

Подставим полученные формулы в формулу рентабельности акционерного капитала:

 

Ответ: 29%

Аналитическая часть

 

Используя данные Таблицы 6 Численность экономически активного населения, занятых и безработных (тысяч человек) из Российского статистического ежегодника 2003 года (стр.129), найдем среднюю арифметическую простую величину, среднюю гармоническую простую величину, моду и медиану в дискретных рядах.

Таблица 6

Численность экономически активного населения, занятых и безработных         (тысяч человек)

 

	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002
Численность экономически активного населения - всего	70861	69660	68079	67339	72175	71464	70968	71919
мужчины	37336	36749	35925	35379	37639	37154	36846	36937
женщины	33525	32911	32154	31960	34537	34310	34122	34982
в том числе:
занятые в экономике -всего	64149	62928	60021	58437	63082	64465	64664	65766
мужчины	33720	33087	31554	30587	32838	33374	33435	33615
женщины	30429	29841	28467	27850	30244	31091	31229	32151

 

Средняя арифметическая простая величина:

Найдем среднюю численность экономически активного населения – всего за 1995-2002 годы.

 

Средняя гармоническая простая величина:

Найдем среднюю численность экономически активного населения – всего мужчин за 1995-2002 годы.

 

 

Мода в дискретном ряду:

Найдем моду ряда значений численности экономически активного населения, занятых в экономике за 1995-2002 годы.

Модой в дискретном ряду является величина признака, которой соответствует максимальная частота. В данном случае это 2002 год (65766 тысяч человек).

Полученный результат говорит о том, что в 2002 году была самая высокая численность экономически активного населения, занятых в экономике.

 

Медиана в дискретном ряду:

Найдем медиану ряда значений численности экономически активного населения, занятых в экономике мужчин.

Медианой в дискретном ряду является центральный член ранжированного ряда.

Упорядочим данный ряд.

30587; 31554; 32838; 33087; 33374; 33435; 33615; 33720.

В данном случае четный объем ряда, поэтому медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

Используя данные Таблицы 7 Распределение численности безработных по возрастным группам (в процентах к итогу) из Российского статистического ежегодника 2003 года (стр.142), найдем моду и медиану в интервальных рядах.

Таблица 7

Распределение численности безработных по возрастным группам                                (в процентах к итогу)

 

	до 20	20-24	25-29	30-34	35-39	40-44	45-49	50-54	55-59	60-64
2002	8,9	17	13,2	11,9	11,6	13,1	10,7	8,3	2,5	2,8

 

Мода в интервальном ряду:

Найдем моду интервального ряда значений численности безработных по возрастным группам в 2002 году.

Модальным рядом будет ряд 20-24 лет, т. к. именно ему соответствует наибольшая частота (17 %).

 

Полученный результат говорит о том, что в 2002 году самая высокая численность безработных приходилась на возраст 22,7 лет.

Это значение можно изобразить графически (рис. 1)

Медиана в интервальном ряду:

Найдем медиану интервального ряда значений численности безработных по возрастным группам в 2002 году.

Прежде всего найдем медианный интервал. Таким интервалом будет интервал численности безработных в возрасте 30-34, поскольку его кумулятивная частота равна 51 (8,9+17+13,2+11,9), что превышает половину суммы всех частот (100:2=50). Нижняя граница интервала 30; его частота 11,9; частота, накопленная до него, равна 39,1 (8,9+17+13,2); медианный интервал равен 4.

 

Полученный результат говорит о том, что из 100% безработных в 2002 году 50% имели возраст менее 33,7 года, а остальные 50% имели возраст более 33,7 года.

Рис. 1 Мода в интервальном ряду

Используя данные Таблицы 8 Численность населения в межпереписной период по регионам Российской Федерации (тысяч человек) из Российского статистического ежегодника 2003 года (стр.83), найдем среднюю арифметическую взвешенную величину.

Таблица 8

Численность населения в межпереписной период по регионам Российской Федерации (тысяч человек)

 

	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003
Сибирский федеральный округ	1084	1086	1086	1083	1075	1079	1078	1075	1074	1072	1068	1065	1061	1057
Томская область

Средняя арифметическая взвешенная величина:

Найдем среднюю численность населения в межпереписной период в Томской области с 1990 года по 2003 год.

Упорядочим все варианты:

 

Сибирский федеральный округ	1057	1061	1065	1068	1072	1074	1075	1078	1079	1083	1084	1086
Томская область
Весы	1	1	1	1	1	1	2	1	1	1	1	2
f

 

 

Используя данные Таблицы 9 Основные показатели аудиторской деятельности (человек) из Российского статистического ежегодника 2003 года (стр.83), найдем среднюю гармоническую взвешенную величину.

 

Таблица 9

Основные показатели аудиторской деятельности (человек)

 

Средняя численность работников (включая внешних совместителей и работников несписочного состава), человек:	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002
Всего	7582	12141	15675	15381	27303	20884	32787	25452
В расчете на одну организацию	7	7	8	7	10	7	9	4

Средняя гармоническая взвешенная величина:

Найдем среднюю численность человек, занимающихся аудиторской деятельностью, в расчете на одну организацию с 1995 года по 2002 год.

 

 

 

Используя данные Таблиц 10,11 Численность населения в межпереписной период по регионам Российской Федерации (тысяч человек) из Российского статистического ежегодника 2003 года (стр.82), найдем среднюю хронологическую величину ряда с равностоящими уровнями и неравностоящими уровнями.

 

Средняя хронологическая величина ряда с равностоящими уровнями:

Найдем среднюю численность населения в межпереписной период в Костромской области с 1996 года по 2003 год.

Таблица 10

Численность населения в межпереписной период по регионам Российской Федерации –Костромская область (тысяч человек)

 

	1.I.96	1.I.97	1.I.98	1.I.99	1.I.00	1.I.01	1.I.02	1.I.03
Центральный федеральный округ	800	795	791	787	781	774	766	758
Костромская область

 

Средняя хронологическая величина ряда с неравностоящими уровнями:

Найдем среднюю численность населения в межпереписной период в Ненецком автономном округе с 1990 года по 2003 год.

 

Таблица 11

Численность населения в межпереписной период по регионам Российской Федерации – Ненецкий автономный округ (тысяч человек)

 

	1.I.90	1.I.92	1.I.95	1.I.99	1.I.00	1.I.03
Северо-Западный федеральный округ	54	53	49	46	45	46
Ненецкий автономный округ

 

Заключение

Средние величины имеют большое распространение в статистике коммерческой деятельности. В средних величинах отображаются важнейшие показатели товарооборота, товарных запасов, цен. Средними величинами характеризуются качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Теоретическая часть

 

Средняя величина – это обобщающая величина изучаемого признака в исследуемой совокупности, которая отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. Для выяснения сущности средней величины необходимо рассмотреть особенности формирования значений признаков тех явлений, по данным которых исчисляют среднюю величину.

Известно, что единицы каждого массового явления обладают многочисленными признаками. Какой бы из этих признаков мы ни взяли, его значения у отдельных единиц будут различными, они изменяются, или, как говорят в статистике, варьируют от одной единицы к другой. Так, например, заработная плата работника определяется его квалификацией, характером труда, стажем работы и целым рядом других факторов, поэтому изменяется в весьма широких пределах. Совокупное влияние всех факторов определяет размер заработка каждого работника, тем не менее можно говорить о среднемесячной заработной плате работников разных отраслей экономики. Здесь мы оперируем типичным, характерным значением варьирующего признака, отнесенным к единице многочисленной совокупности.

Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. В то же время она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их. Уровень (или размер) любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов. Одни из них являются общими и главными, постоянно действующими, тесно связанными с природой изучаемого явления или процесса, и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине. Другие являются индивидуальными, их действие выражено слабее и носит эпизодический, случайный характер. Они действуют в обратном направлении, обусловливают различия между количественными признаками отдельных единиц совокупности, стремясь изменить постоянную величину изучаемых признаков. Действие индивидуальных признаков погашается в средней величине. В совокупном влиянии типичных и индивидуальных факторов, которое уравновешивается и взаимно погашается в обобщающих характеристиках, проявляется в общем виде известный из математической статистики фундаментальный закон больших чисел.

В совокупности индивидуальные значения признаков сливаются в общую массу и как бы растворяются. Отсюда и средняя величина выступает как «обезличенная», которая может отклоняться от индивидуальных значений признаков, не совпадая количественно ни с одним из них. Средняя величина отражает общее, характерное и типичное для всей совокупности благодаря взаимопогашению в ней случайных, нетипичных различий между признаками отдельных ее единиц, так как ее величина определяется как бы общей равнодействующей из всех причин.

Однако для того, чтобы средняя величина отражала наиболее типичное значение признака, она должна определяться не для любых совокупностей, а только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. Это требование является основным условием научно обоснованного применения средних величин и предполагает тесную связь метода средних величин и метода группировок в анализе социально-экономических явлений. Следовательно, средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Определяя, таким образом, сущность средних величин, необходимо подчеркнуть, что правильное исчисление любой средней величины предполагает выполнение следующих требований:

· качественная однородность совокупности, по которой вычислена

средняя величина. Это означает, что исчисление средних величин должно основываться на методе группировок, обеспечивающем выделение однородных, однотипных явлений;

· исключение влияния на вычисление средней величины случайных,

сугубо индивидуальных причин и факторов. Это достигается в том случае, когда вычисление средней основывается на достаточно массовом материале, в котором проявляется действие закона больших чисел, и все случайности взаимопогашаются;

· при вычислении средней величины важно установить цель ее расчета

и так называемый определяющий показатель (свойство), на который она должна быть ориентирована. Определяющий показатель может выступать в виде суммы значений осредняемого признака, суммы его обратных значений, произведения его значений и т.п. Связь между определяющим показателем и средней величиной выражается в следующем: если все значения осредняемого признака заменить средним значением, то их сумма или произведение в этом случае не изменит определяющего показателя. На основе этой связи определяющего показателя со средней величиной строят исходное количественное отношение для непосредственного расчета средней величины. Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.

Средняя величина, рассчитанная в целом по совокупности, называется общей средней; средние величины, рассчитанные для каждой группы, - групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Способы расчета могут быть разные, поэтому в статистике различают несколько видов средней величины.

Средние величины делятся на 2 больших класса:

степенные средние (средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая и др.). Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Если рассчитывать все виды степенных средних для одних и тех же данных, то их значения окажутся одинаковыми. Тогда действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени средних увеличивается и сама средняя величина ().

структурные средние (мода, медиана). Мода и медиана определяются лишь структурой распределения. Поэтому их именуют «структурными позиционными средними». Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.

 

Степенные средние

 

Для наглядности наиболее часто применяемые в практических исследованиях формулы вычисления различных видов степенных средних величин представлены в Таблице 1.

Таблица 1

Виды степенных средних

Вид степенной средней	Показатель степени	Формула расчета
		Простая	Взвешенная
1. Гармоническая	-1		, где
2. Геометрическая