Математические модели типовых звеньев САУ

В большинстве случаев, когда приходится иметь дело со сложными системами, математическое описание начинается с разбиения ее на простейшие звенья, обладающие направленностью действия, и описания этих звеньев.

Звеном направленного действия называется звено, которое передает воздействие только в одном направлении – со «входа» одного звена на «вход» другого, так, что изменение состояния первого звена не влияет на состояние предшествующего звена, работающего на его вход.

В результате при разбиении системы на звенья направленного действия, математическое описание каждого такого звена может быть составлено без учета его связей с другими звеньями.

Описание типовых динамических звеньев подробно рассматривается в лекционном курсе. Найти описание типовых звеньев можно также в учебниках по теории автоматического управления или регулирования [1–5]. Примеры математического описания простейших звеньев, которые понадобятся в данном лабораторном практикуме, приведены ниже.

Апериодическое звено (рис. 4). Относится к типу позиционных звеньев. Передаточная функция апериодического звена имеет вид:

,                       (15)

где k – передаточный коэффициент, T – постоянная времени

Уравнения в пространстве состояний для апериодического звена, составляются по схеме моделирования (рис. 4) следующим образом:

.                   (16)

 

 

Рис. 4. Принципиальная электрическая схема и структурная схема

апериодического звена

 

Колебательное звено (рис. 5). Относится к типу позиционных звеньев. Передаточная функция колебательного звена выглядит следующим образом:

,   (17)

где  – коэффициент демпфирования.

Уравнения в пространстве состояний для колебательного звена, согласно схеме моделирования, имеют вид:

. (18)

Примером колебательного звена служит элементарный колебательный контур (рис. 5).

 

Рис. 5. Принципиальная электрическая схема и структурная

Схема колебательного звена

 

Реальное дифференцирующее звено (рис. 6). Относится к типу дифференцирующих звеньев. Передаточная функция дифференцирующего звена выражается следующей формулой:

.                (19)

Уравнения в пространстве состояний для дифференцирующего звена выглядят так:

.          (20)

Примером дифференцирующего звена может служить электрическая схема приведенная на рис. 6.

 

Рис. 6. Принципиальная электрическая схема и схема моделирования

дифференцирующего звена

 

Идеальное интегрирующее звено (рис. 7). Относится к типу интегрирующих звеньев. Передаточная функция интегрирующего звена описывается следующим выражением:

                          (21)

Уравнения в пространстве состояний для интегрирующего звена имеют вид:

.                                (22)

Если в интегрирующем звене , то такое звено называют чисто интегрирующим.

Рис. 7. Структурная схема идеального интегрирующего звена

 

Идеальное усилительное звено (рис. 8). Относится к типу позиционных звеньев. Передаточная функция идеального усилительного звена имеет вид

,                                (23)

и воспроизводит входной сигнал без искажения и запаздывания, но с изменением масштаба в k раз.

Описание в пространстве состояний для усилительного звена содержит только уравнение выхода

,                                  (24)

Это значит, что усилительное звено не является динамическим.

Рис. 8. Структурная схема идеального усилительного звена.

 

Имея модель системы в виде структурной схемы, всегда можно построить эквивалентную схему с чисто интегрирующими звеньями (идеальными интеграторами). Для этого на структурной схеме следует заменить прямоугольники с обозначенными в них передаточными функциями соответствующими схемами моделирования (рис. 5–8). Далее необходимо обозначить вход каждого интегратора , а выход  (i=1,2,..., n). Следующим шагом является составление дифференциальных уравнений относительно входов интеграторов. По ним легко получить описание в пространстве состояний вида (11).

Контрольные вопросы.

1. Какие простейшие звенья вы знаете?

2. Как выглядит передаточная функция апериодического звена? Чему равен его коэффициент усиления?

3. Как выглядит передаточная функция реального дифференцирующего звена? Чему равен его коэффициент усиления?

4. Почему позиционное усилительное звено не имеет уравнения динамики при описании его в пространстве состояний?

5. Звеном какого порядка является колебательное звено?

6. Чему равна передаточная функция и коэффициент усиления интегрирующего звена?