Собственные векторы и собственные значения матрицы

, вектор  - собственный,  - собственное значение матрицы , соответствующее собственному вектору . Имеет место свойство: .

Теорема Кэли

Квадратная матрица  является корнем своего характеристического многочлена, то есть если , то .

Например: , , . . . Действительно, .

Линейные операторы

Определение. Отображение , где  - векторные пространства, называется линейным оператором, если

,  для всех .

Пределы. Признаки сходимости и расходимости последовательностей

Теорема. Если , то .

Следствие. Если  и , то .

Теорема. Всякая монотонная, ограниченная последовательность имеет предел.

Определение. Точка  называется предельной для последовательности , если в любой положительной окрестности точки , то есть в интервале , содержится неограниченное число членов последовательности .

Теорема. Ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.

Последовательность имеет конечный предел  если она имеет ровно одну предельную точку.

Теорема Штольца

Если , то .

Теорема (принцип сжатых отображений):

Пусть  - одно из следующих множеств: , , .

Пусть при всех : , функция  непрерывна, дифференцируема и выполняется неравенство .

Тогда, если при некотором , , то рекуррентная последовательность  имеет пределом некоторое , причем  и .

Эквивалентные бесконечно малые

Определение. Бесконечно малые  эквивалентны при , если . Обозначают это  при .

Таблица эквивалентности бесконечно малых при

.

Непрерывность

Определения. Пусть функция  определена в точке  и в некоторой окрестности этой точки. Функция  называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, то есть .

Функция  называется непрерывной в интервале (), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция  называется непрерывной на отрезке [ ], если она непрерывна в интервале () и в точке  непрерывна справа (т.е. ), а в точке  непрерывна слева (т.е. ).

Теорема (Вейерштрасса) о достижении наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке

Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значения.

Производная функции и правило Лопиталя

Производная функции (определение).  - производная функции  в точке .

Геометрический смысл. tg ,  - угол наклона касательной к графику функции  в точке ,  - коэффициент наклона касательной в точке .

Правило Лопиталя

Если  или  при  и существует , то .

Три теоремы о наличии на отрезке точки с заданным наклоном у функции

Теорема Ролля

Если функция  непрерывна на отрезке [ ], дифференцируема на () и на концах этого отрезка принимает одинаковые значения, то есть , то найдется точка , такая, что .

Теорема Лагранжа

Если функция  непрерывна на отрезке [ ], дифференцируема на (), то найдется точка , такая, что .

Теорема Коши

Если функции  и  непрерывны на отрезке [ ], дифференцируема на () и , то найдется точка , такая, что .