Метод (принцип) математической индукции

Дополнение

Метод (принцип) математической индукции

Иногда, наблюдение указывает на проявление некоторой закономерности в зависимости от натурального , начиная с некоторого. Естественно, появляется потребность доказать, что наблюдаемая закономерность проявляется при всех натуральных , начиная с некоторого известного номера. В этом случае часто применяется метод математической индукции.

Этот метод эффективен, однако, сам по себе, не вскрывает причины проявления наблюдаемой закономерности, то есть сути явления.

1. Пусть логическое утверждение  верно при .

2. Пусть из предположения, что  верно при  следует, что  верно при .

Тогда метод (принцип) математической индукции утверждает, что утверждение  верно при всех .

В самом деле, из 1,2 следует, что - верно. Из 2) следует, что , так как  - верно. И т.д.

Пример. Доказать, что .

При , имеем: . Утверждение верно.

Пусть при  утверждение верно, т.е. равенство  - верно.

Тогда

.

То есть утверждение верно и при . Из принципа математической индукции, утверждение верно при всех , a значит и при всех , так как тождество подразумевает, что  - натуральное число

Замечание. Уже говорилось, что метод математической индукции не вскрывает сущности формулы или утверждения. В нашем примере . .

В этом решении уже вскрыта сущность формулы. (Здесь, далее, помещены сведения, которые применялись в решениях задач).

Алгебра

Основная теорема

Всякий многочлен -й степени  имеет  комплексных корней, то есть (при )

.

Теорема Виета (обобщенная)

Если , то , ,…, .

Теорема Безу

Всякий многочлен -й степени, имеющий корень  без остатка разделится на .

Пример: ; , то есть  делится без остатка на .

Линейная алгебра

Матрицы и определители

 (здесь  - определитель квадратной матрицы )

Свойства диагональных матриц

1.

2. Если , то  - тоже диагональная матрица и .

3. Если , , то  - тоже диагональная матрица и .

Ранг матрицы

Определение. Рангом матрицы называется число ее линейно независимых строк (столбцов).

Теорема 1.  (здесь  - ранг матрицы ).

Теорема 2. При умножении матрицы на невырожденную, ранг матрицы сохраняется.

Доказательство. Воспользуемся теоремой: .

Пусть . . Имеем, . . Отсюда . Аналогично доказывается, что . Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Перестановка -й и -й строки квадратной матрицы равносильно умножению слева на нее матрицы

                 

Прибавление к -й строке матрицы ее -й строки, умноженной на число  равносильно умножению слева на нее матрицы

                      

 

Умножение -й строки матрицы на число  равносильно умножению слева на нее матрицы

Аналогичные утверждения для столбцов. Только умножать на эти же матрицы нужно справа.

Элементарные преобразования матрицы

Перечисленные операции со строками и столбцами называются элементарными преобразованиями.

                     

.

Доказательство. В самом деле, пусть в матрице  нужно переставить -ю и -ю строки ().

Пусть матрица  получается из единичной матрицы сдвигом единицы в -й и -й строке следующим образом: в -й строке единичной матрицы единица сдвигается на место -го столбца, а в -й строке единичной матрицы единица сдвигается на место -го столбца.

                  

.

Тогда, по формуле умножения матриц, для квадратных матриц, имеем: если , то . Положим

Пусть , тогда  

=

Это и значит, что матрица  получена из матрицы  перестановкой -й и -й строк.

Теперь пусть нужно к -й строке матрицы  прибавить -ю строку, умноженную на число . Положим

, то есть матрица  имеет вид:

                      

,

Тогда

Это и значит, что матрица  получена из матрицы  прибавлением к -й строке -ой строки, умноженной на число . Теперь, пусть нужно -ю строку матрицы  умножить на число .

Положим

. То есть  имеет вид:

. Пусть .

Тогда

.

Это и значит, что матрица  получена из матрицы  умножением -й строки матрицы  на число .

Аналогично доказывается, что те же операции со столбцами осуществляются умножением матрицы справа на эти же матрицы.

Пусть нужно переставить столбцы с номерами  и . Пусть . Тогда, поскольку

, то

Это и значит, что матрица  получена перестановкой в матрице -го и -го столбца.

Пусть теперь нужно в матрице  к -му столбцу прибавить -й столбец, умноженный на число . Пусть . Тогда, поскольку

.

Тогда

. Это и значит, что в матрице  к -му столбцу прибавили -й столбец, умноженный на число .

И, наконец, пусть теперь нужно -й столбец матрицы  умножить на число .

Пусть .

Тогда .

Это и значит, что матрица  получена из матрицы  умножением -го столбца на число . Теорема 3 доказана.

Замечание. Элементарными преобразованиями матрицы можно привести ее к диагональному виду так, чтобы на диагонали стояли либо единицы, либо нули. Количество единиц тогда является рангом матрицы.

Теорема Кэли

Квадратная матрица  является корнем своего характеристического многочлена, то есть если , то .

Например: , , . . . Действительно, .

Линейные операторы

Определение. Отображение , где  - векторные пространства, называется линейным оператором, если

,  для всех .

Теорема Штольца

Если , то .

Теорема (принцип сжатых отображений):

Пусть  - одно из следующих множеств: , , .

Пусть при всех : , функция  непрерывна, дифференцируема и выполняется неравенство .

Тогда, если при некотором , , то рекуррентная последовательность  имеет пределом некоторое , причем  и .

Непрерывность

Определения. Пусть функция  определена в точке  и в некоторой окрестности этой точки. Функция  называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, то есть .

Функция  называется непрерывной в интервале (), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция  называется непрерывной на отрезке [ ], если она непрерывна в интервале () и в точке  непрерывна справа (т.е. ), а в точке  непрерывна слева (т.е. ).

Теорема (Вейерштрасса) о достижении наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке

Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значения.

Правило Лопиталя

Если  или  при  и существует , то .

Теорема Ролля

Если функция  непрерывна на отрезке [ ], дифференцируема на () и на концах этого отрезка принимает одинаковые значения, то есть , то найдется точка , такая, что .

Теорема Лагранжа

Если функция  непрерывна на отрезке [ ], дифференцируема на (), то найдется точка , такая, что .

Теорема Коши

Если функции  и  непрерывны на отрезке [ ], дифференцируема на () и , то найдется точка , такая, что .

Комплексные числа

Определения. Комплексным числом называется выражение вида , где  и  - действительные числа, а так называемая мнимая единица, .

Число  называется действительной частью комплексного числа  и обозначается , а  - мнимой частью , .

Два комплексных числа  и  называются равными () тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: , .

Два комплексных числа  и  отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Комплексное число  можно задавать с помощью радиус-вектора . Длина вектора , изображающего комплексное число , называется модулем этого числа и обозначается  или .

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg  или .

Формула Муавра

.

Арифметические действия

При умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении комплексных чисел делятся модули, а аргументы вычитаются.

При сложении комплексных чисел складываются действительные и мнимые части.

При вычитании комплексных чисел вычитаются действительные и мнимые части.

Неопределенный интеграл

Определение. , если ,  - произвольная постоянная.

Определенный интеграл

Определение. , если этот предел не зависит от выбора точек .

Здесь , , .

Теорема существования

Если функция  непрерывна, то определенный интеграл существует.

При вычислении определенного интеграла используется

Формула Ньютона-Лейбница

, где .

Геометрический смысл определенного интеграла - это площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми , , и графиком положительной функции .

Теорема о среднем значении

Если функция  непрерывна на отрезке [ ], то существует точка [ ] такая, что .

Двойные интегралы

Определение. Пусть в замкнутой области  плоскости  задана непрерывная функция . Разобьем область  на  «элементарных областей» , площади которых обозначим через , а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) - через . В каждой области  выберем произвольную точку .

Тогда , если этот предел не зависит от способа выбора точек .

Теорема о среднем значении

Если функция  непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то в этой области существует такая точка (), что .

Тройные интегралы

Определение. Пусть в замкнутой области  пространства  задана непрерывная функция .

Разбив область  сеткой поверхностей на  частей  (), и выбрав в каждой из них произвольную точку , составим интегральную сумму  для функции  по области  (здесь  - объем элементарной области ). Если предел интегральной суммы существует при неограниченном увеличении числа  таким образом, что каждая «элементарная область»  стягивается в точку (т.е. диаметр области ), то его называют тройным интегралом от функции  по области  и обозначают  (или ). Таким образом, по определению, имеем:

.

Теорема существования

Если функция  непрерывна в ограниченной замкнутой области , то предел интегральной суммы при  и  существует и не зависит ни от способа разбиения области  на части, ни от выбора точек  в них.

Достаточные условия

В критической точке вычисляем , , , .

Если , то экстремум есть, причем при  минимум, при  максимум.

Если , то экстремума нет.

Дифференциальные уравнения

Определения. Уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные, называется дифференциальным. .

Уравнение вида  называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Задача Коши

Для уравнения  найти решение , удовлетворяющее начальному условию .

Теорема Пеано

Если  и , функция  непрерывна в некоторой окрестности точки (), то существует  такое, что в интервале  существует единственное решение уравнения .

Аналогичная теорема имеет место и для систем дифференциальных уравнений.

Ряды

Определения. Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение , где - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда,  - общим членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный, как функция его номера: .

Сумма первых  членов ряда называется й частичной суммой ряда и обозначается через , то есть .

Если существует конечный предел  последовательности частичных сумм ряда, то этот предел называют суммой ряда, и говорят, что ряд сходится. Записывают . Если  не существует или , то ряд называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Интегральный признак Коши

Если  непрерывная положительная монотонно убывающая для  функция, причем , , то ряд  и несобственный интеграл  одновременно сходятся или расходятся.

Вычисление сумм рядов

Разложение на простейшие дроби

Пример. Вычислить .

Решение. .

Отсюда  при всех . При  находим . , . При  находим . , , . .

Значит, .

Использование разложений известных функций

Пример. Вычислить . Решение. ; . .

Арифметическая прогрессия

Определение. Последовательность  называется арифметической прогрессией, если , где  - постоянное число, называемое разностью прогрессии.

Свойства. . .

Геометрическая прогрессия

Определение. Последовательность  называется геометрической прогрессией, если , где  - постоянное число, называемое знаменателем прогрессии.

Свойства. . . Если , то .

Рекомендуемая литература

1. Сборник докладов семинара «Вопросы методики подготовки к математическим олимпиадам в высшей школе» Вып. 1-11. Санкт-Петербург, Торгово-Промышленная Палата. 1999-2009 гг.

2. Беркович, Ф.Д. Задачи студенческих олимпиад с указаниями и решениями / Ф.Д.Беркович, В.С.Федий, В.И.Шлыков. - Ростов на Дону: Феникс, 2008.

3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Том 1,2. / Н.С.Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2004.

4. Бугров, Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С.Бугров, C.М.Никольский. – М.: Дрофа. 2004.

 

Игорь Борисович КОЖУХОВ,

Владимир Анатольевич СВЕНТКОВСКИЙ,

Татьяна Владимировна СОКОЛОВА

 

Московские городские

За 1996-2009 гг.

 

 

Редакторы: В.В.Виноградова

Компьютерная верстка: Н.А.Никитин

 

Подписано в печать 01.12.2010 г.

Формат 60´84/16. Бумага офсетная.

Гарнитура «Ариал». Печать офсетная.

Усл. печ. л. 18.3. Уч.-изд. л. 14,7.

Тираж 100 экз. Заказ 0027

 

Дополнение

Метод (принцип) математической индукции

Иногда, наблюдение указывает на проявление некоторой закономерности в зависимости от натурального , начиная с некоторого. Естественно, появляется потребность доказать, что наблюдаемая закономерность проявляется при всех натуральных , начиная с некоторого известного номера. В этом случае часто применяется метод математической индукции.

Этот метод эффективен, однако, сам по себе, не вскрывает причины проявления наблюдаемой закономерности, то есть сути явления.

1. Пусть логическое утверждение  верно при .

2. Пусть из предположения, что  верно при  следует, что  верно при .

Тогда метод (принцип) математической индукции утверждает, что утверждение  верно при всех .

В самом деле, из 1,2 следует, что - верно. Из 2) следует, что , так как  - верно. И т.д.

Пример. Доказать, что .

При , имеем: . Утверждение верно.

Пусть при  утверждение верно, т.е. равенство  - верно.

Тогда

.

То есть утверждение верно и при . Из принципа математической индукции, утверждение верно при всех , a значит и при всех , так как то<