Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2019-05-27 | 124 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Дополнение
Метод (принцип) математической индукции
Иногда, наблюдение указывает на проявление некоторой закономерности в зависимости от натурального , начиная с некоторого. Естественно, появляется потребность доказать, что наблюдаемая закономерность проявляется при всех натуральных , начиная с некоторого известного номера. В этом случае часто применяется метод математической индукции.
Этот метод эффективен, однако, сам по себе, не вскрывает причины проявления наблюдаемой закономерности, то есть сути явления.
1. Пусть логическое утверждение верно при .
2. Пусть из предположения, что верно при следует, что верно при .
Тогда метод (принцип) математической индукции утверждает, что утверждение верно при всех .
В самом деле, из 1,2 следует, что - верно. Из 2) следует, что , так как - верно. И т.д.
Пример. Доказать, что .
При , имеем: . Утверждение верно.
Пусть при утверждение верно, т.е. равенство - верно.
Тогда
.
То есть утверждение верно и при . Из принципа математической индукции, утверждение верно при всех , a значит и при всех , так как тождество подразумевает, что - натуральное число
Замечание. Уже говорилось, что метод математической индукции не вскрывает сущности формулы или утверждения. В нашем примере . .
В этом решении уже вскрыта сущность формулы. (Здесь, далее, помещены сведения, которые применялись в решениях задач).
Алгебра
Основная теорема
Всякий многочлен -й степени имеет комплексных корней, то есть (при )
.
Теорема Виета (обобщенная)
Если , то , ,…, .
Теорема Безу
Всякий многочлен -й степени, имеющий корень без остатка разделится на .
Пример: ; , то есть делится без остатка на .
|
Линейная алгебра
Матрицы и определители
(здесь - определитель квадратной матрицы )
Свойства диагональных матриц
1.
2. Если , то - тоже диагональная матрица и .
3. Если , , то - тоже диагональная матрица и .
Ранг матрицы
Определение. Рангом матрицы называется число ее линейно независимых строк (столбцов).
Теорема 1. (здесь - ранг матрицы ).
Теорема 2. При умножении матрицы на невырожденную, ранг матрицы сохраняется.
Доказательство. Воспользуемся теоремой: .
Пусть . . Имеем, . . Отсюда . Аналогично доказывается, что . Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Перестановка -й и -й строки квадратной матрицы равносильно умножению слева на нее матрицы
Прибавление к -й строке матрицы ее -й строки, умноженной на число равносильно умножению слева на нее матрицы
Умножение -й строки матрицы на число равносильно умножению слева на нее матрицы
Аналогичные утверждения для столбцов. Только умножать на эти же матрицы нужно справа.
Элементарные преобразования матрицы
Перечисленные операции со строками и столбцами называются элементарными преобразованиями.
.
Доказательство. В самом деле, пусть в матрице нужно переставить -ю и -ю строки ().
Пусть матрица получается из единичной матрицы сдвигом единицы в -й и -й строке следующим образом: в -й строке единичной матрицы единица сдвигается на место -го столбца, а в -й строке единичной матрицы единица сдвигается на место -го столбца.
.
Тогда, по формуле умножения матриц, для квадратных матриц, имеем: если , то . Положим
Пусть , тогда
=
Это и значит, что матрица получена из матрицы перестановкой -й и -й строк.
Теперь пусть нужно к -й строке матрицы прибавить -ю строку, умноженную на число . Положим
, то есть матрица имеет вид:
,
Тогда
Это и значит, что матрица получена из матрицы прибавлением к -й строке -ой строки, умноженной на число . Теперь, пусть нужно -ю строку матрицы умножить на число .
|
Положим
. То есть имеет вид:
. Пусть .
Тогда
.
Это и значит, что матрица получена из матрицы умножением -й строки матрицы на число .
Аналогично доказывается, что те же операции со столбцами осуществляются умножением матрицы справа на эти же матрицы.
Пусть нужно переставить столбцы с номерами и . Пусть . Тогда, поскольку
, то
Это и значит, что матрица получена перестановкой в матрице -го и -го столбца.
Пусть теперь нужно в матрице к -му столбцу прибавить -й столбец, умноженный на число . Пусть . Тогда, поскольку
.
Тогда
. Это и значит, что в матрице к -му столбцу прибавили -й столбец, умноженный на число .
И, наконец, пусть теперь нужно -й столбец матрицы умножить на число .
Пусть .
Тогда .
Это и значит, что матрица получена из матрицы умножением -го столбца на число . Теорема 3 доказана.
Замечание. Элементарными преобразованиями матрицы можно привести ее к диагональному виду так, чтобы на диагонали стояли либо единицы, либо нули. Количество единиц тогда является рангом матрицы.
Теорема Кэли
Квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена, то есть если , то .
Например: , , . . . Действительно, .
Линейные операторы
Определение. Отображение , где - векторные пространства, называется линейным оператором, если
, для всех .
Теорема Штольца
Если , то .
Теорема (принцип сжатых отображений):
Пусть - одно из следующих множеств: , , .
Пусть при всех : , функция непрерывна, дифференцируема и выполняется неравенство .
Тогда, если при некотором , , то рекуррентная последовательность имеет пределом некоторое , причем и .
Непрерывность
Определения. Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, то есть .
Функция называется непрерывной в интервале (), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция называется непрерывной на отрезке [ ], если она непрерывна в интервале () и в точке непрерывна справа (т.е. ), а в точке непрерывна слева (т.е. ).
Теорема (Вейерштрасса) о достижении наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке
|
Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значения.
Правило Лопиталя
Если или при и существует , то .
Теорема Ролля
Если функция непрерывна на отрезке [ ], дифференцируема на () и на концах этого отрезка принимает одинаковые значения, то есть , то найдется точка , такая, что .
Теорема Лагранжа
Если функция непрерывна на отрезке [ ], дифференцируема на (), то найдется точка , такая, что .
Теорема Коши
Если функции и непрерывны на отрезке [ ], дифференцируема на () и , то найдется точка , такая, что .
Комплексные числа
Определения. Комплексным числом называется выражение вида , где и - действительные числа, а так называемая мнимая единица, .
Число называется действительной частью комплексного числа и обозначается , а - мнимой частью , .
Два комплексных числа и называются равными () тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: , .
Два комплексных числа и отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
Комплексное число можно задавать с помощью радиус-вектора . Длина вектора , изображающего комплексное число , называется модулем этого числа и обозначается или .
Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg или .
Формула Муавра
.
Арифметические действия
При умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются.
При делении комплексных чисел делятся модули, а аргументы вычитаются.
При сложении комплексных чисел складываются действительные и мнимые части.
При вычитании комплексных чисел вычитаются действительные и мнимые части.
Неопределенный интеграл
Определение. , если , - произвольная постоянная.
Определенный интеграл
Определение. , если этот предел не зависит от выбора точек .
Здесь , , .
Теорема существования
Если функция непрерывна, то определенный интеграл существует.
|
При вычислении определенного интеграла используется
Формула Ньютона-Лейбница
, где .
Геометрический смысл определенного интеграла - это площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми , , и графиком положительной функции .
Теорема о среднем значении
Если функция непрерывна на отрезке [ ], то существует точка [ ] такая, что .
Двойные интегралы
Определение. Пусть в замкнутой области плоскости задана непрерывная функция . Разобьем область на «элементарных областей» , площади которых обозначим через , а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) - через . В каждой области выберем произвольную точку .
Тогда , если этот предел не зависит от способа выбора точек .
Теорема о среднем значении
Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то в этой области существует такая точка (), что .
Тройные интегралы
Определение. Пусть в замкнутой области пространства задана непрерывная функция .
Разбив область сеткой поверхностей на частей (), и выбрав в каждой из них произвольную точку , составим интегральную сумму для функции по области (здесь - объем элементарной области ). Если предел интегральной суммы существует при неограниченном увеличении числа таким образом, что каждая «элементарная область» стягивается в точку (т.е. диаметр области ), то его называют тройным интегралом от функции по области и обозначают (или ). Таким образом, по определению, имеем:
.
Теорема существования
Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то предел интегральной суммы при и существует и не зависит ни от способа разбиения области на части, ни от выбора точек в них.
Достаточные условия
В критической точке вычисляем , , , .
Если , то экстремум есть, причем при минимум, при максимум.
Если , то экстремума нет.
Дифференциальные уравнения
Определения. Уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные, называется дифференциальным. .
Уравнение вида называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.
Задача Коши
Для уравнения найти решение , удовлетворяющее начальному условию .
Теорема Пеано
Если и , функция непрерывна в некоторой окрестности точки (), то существует такое, что в интервале существует единственное решение уравнения .
Аналогичная теорема имеет место и для систем дифференциальных уравнений.
Ряды
Определения. Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение , где - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, - общим членом ряда.
|
Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный, как функция его номера: .
Сумма первых членов ряда называется й частичной суммой ряда и обозначается через , то есть .
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда, то этот предел называют суммой ряда, и говорят, что ряд сходится. Записывают . Если не существует или , то ряд называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.
Интегральный признак Коши
Если непрерывная положительная монотонно убывающая для функция, причем , , то ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.
Вычисление сумм рядов
Разложение на простейшие дроби
Пример. Вычислить .
Решение. .
Отсюда при всех . При находим . , . При находим . , , . .
Значит, .
Использование разложений известных функций
Пример. Вычислить . Решение. ; . .
Арифметическая прогрессия
Определение. Последовательность называется арифметической прогрессией, если , где - постоянное число, называемое разностью прогрессии.
Свойства. . .
Геометрическая прогрессия
Определение. Последовательность называется геометрической прогрессией, если , где - постоянное число, называемое знаменателем прогрессии.
Свойства. . . Если , то .
Рекомендуемая литература
1. Сборник докладов семинара «Вопросы методики подготовки к математическим олимпиадам в высшей школе» Вып. 1-11. Санкт-Петербург, Торгово-Промышленная Палата. 1999-2009 гг.
2. Беркович, Ф.Д. Задачи студенческих олимпиад с указаниями и решениями / Ф.Д.Беркович, В.С.Федий, В.И.Шлыков. - Ростов на Дону: Феникс, 2008.
3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Том 1,2. / Н.С.Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2004.
4. Бугров, Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С.Бугров, C.М.Никольский. – М.: Дрофа. 2004.
Игорь Борисович КОЖУХОВ,
Владимир Анатольевич СВЕНТКОВСКИЙ,
Татьяна Владимировна СОКОЛОВА
Московские городские
За 1996-2009 гг.
Редакторы: В.В.Виноградова
Компьютерная верстка: Н.А.Никитин
Подписано в печать 01.12.2010 г.
Формат 60´84/16. Бумага офсетная.
Гарнитура «Ариал». Печать офсетная.
Усл. печ. л. 18.3. Уч.-изд. л. 14,7.
Тираж 100 экз. Заказ 0027
Дополнение
Метод (принцип) математической индукции
Иногда, наблюдение указывает на проявление некоторой закономерности в зависимости от натурального , начиная с некоторого. Естественно, появляется потребность доказать, что наблюдаемая закономерность проявляется при всех натуральных , начиная с некоторого известного номера. В этом случае часто применяется метод математической индукции.
Этот метод эффективен, однако, сам по себе, не вскрывает причины проявления наблюдаемой закономерности, то есть сути явления.
1. Пусть логическое утверждение верно при .
2. Пусть из предположения, что верно при следует, что верно при .
Тогда метод (принцип) математической индукции утверждает, что утверждение верно при всех .
В самом деле, из 1,2 следует, что - верно. Из 2) следует, что , так как - верно. И т.д.
Пример. Доказать, что .
При , имеем: . Утверждение верно.
Пусть при утверждение верно, т.е. равенство - верно.
Тогда
.
То есть утверждение верно и при . Из принципа математической индукции, утверждение верно при всех , a значит и при всех , так как то<
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!