Саратовский институт (филиал)

Саратовский институт (филиал)

Кафедра высшей математики и информационных технологий

Балаш О.С, Высочанская Е.Ю., Носова Е.Г., Попова А.А.

Теория вероятностей
и математическая статистика

Учебное пособие

САРАТОВ

УДК

ББК

 

 

Рецензент:

 

 

Одобрено:

Учебно-методическим советом Саратовского института (филиала) Российского государственного торгово-экономического университета

 

 

Балаш О.С, Высочанская Е.Ю., Носова Е.Г., Попова А.А.

Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие / Балаш О.С, Высочанская Е.Ю., Носова Е.Г., Попова А.А. – Саратов: Саратовский ин-т (филиал) РГТЭУ, 2011. с.

ISBN 5-

 

Пособие содержит

 

 

УДК

ББК

 

 

ISBN 5-

ã Балаш О.С, Высочанская Е.Ю., Носова Е.Г., А.А. Попова, 2011

 

 

СодерЖание

Введение.......................................................................................................... 4

1. Основные понятия теории вероятностей........................................... 5

1.1. Классификация событий................................................................. 5

1.2. Классическое определение вероятности события................. 10

1.3. Статистическое определение вероятности события............. 12

1.4. Геометрическое определение вероятности события.............. 13

1.5. Элементы комбинаторики............................................................. 15

1.6. Теоремы сложения и умножения вероятностей...................... 23

1.7. Формула полной вероятности. Формула Байеса................... 28

2. Повторные независимые испытания................................................ 35

2.1. Формула Бернулли........................................................................... 35

2.2. Приближенные формулы Пуассона и Лапласа........................ 40

Варианты контрольных заданий........................................................... 47

 

Введение

Предлагаемые методические указания ставят своей целью помочь студентам освоить теоретический и практический материал.

Данные указания содержат программу, вопросы для теоретического опроса, упражнения для самостоятельной работы и контрольные задания по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика», а также приводится список литературы, в которой можно найти материал по всем вопросам указанного курса.

Каждая тема включает краткий теоретический материал, решения некоторых типовых задач и необходимые статистические таблицы. Пособие содержит большое количество примеров для самостоятельной работы с ответами. Для закрепления материала студентам предлагается выполнить контрольные задачи по рассматриваемым темам.

Основные понятия теории вероятностей

Классификация событий

Теория вероятностей — это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений.

Основным объектом изучения теории вероятности является так называемое случайное событие.

Под испытанием (опытом, экспериментом) понимается выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.

Случайным событием (возможным событием или просто событием) называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти, поэтому событие — это возможный исход, результат испытания.

Например, выигрыш автомобиля по билету денежно-вещевой лотереи или выход бракованного изделия с конвейера предприятия.

События обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита: А, В, С.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно не может не произойти в условиях данного опыта или явления.

Событие называется невозможным, если в результате испытания оно не может произойти при выполнении определенного комплекса условий.

Например, из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар. Тогда появление черного шара — достоверное событие; появление белого шара — невозможное событие.

События называются равновозможными, если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из этих событий не является объективно более возможным, т.е. нет никаких объективных причин считать, что одно из них может наступить чаще, чем другое.

Например, бросают игральную кость. В силу симметрии кубика можно считать, что появление любой из цифр 1, 2, 3, 4, 5 или 6 одинаково возможно (равновероятно).

Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытания обязательно должно произойти одно из них.

Например: события, состоящие в том, что в семье из двух детей: А — «два мальчика», В — «один мальчик, одна девочка», С — «две девочки» — являются единственно возможными.

Элементарными событиями (простейшими исходами) называются такие исходы испытания, которые являются неделимыми, равновозможными и служат составными элементами других более сложных случайных событий.

Все элементарные события, в сумме составляющие достоверное, образуют пространство элементарных событий Ω (ω). С математической точки зрения пространство элементарных событий Ω – это некоторое множество, а элементарные события ω _i – его элементы: Ω={ω _i, i = 1,...}. Любое событие А рассматривается как некоторое подмножество множества Ω, то есть А Ì Ω.

Сложное (неэлементарное) событие – это событие, которое может иметь место при нескольких различных элементарных событиях.

Например, будем бросать игральную кость с пронумерованными гранями (1, 2, 3, 4, 5, 6). Предположим, что геометрический центр кубика совпадает с его центром тяжести. Это делает равновозможными выпадение любой его грани. Элементарные события – это выпадение определенной грани. Пространство элементарных исходов Ω состоит из следующих элементарных исходов: ω₁={1}, ω₂={2}, ω₃={3}, ω₄={4}, ω₅={5}, ω₆={6}.

Если при бросании кубика нас будет интересовать случай выпадения четного числа очков, то этому сложному событию соответствует три исхода - 2, 4, 6. Событие А (выпадение четной цифры) можно записать как A ={ω₂, ω₄, ω₆}.

Если при каждом испытании, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то говорят, что А влечет за собой событие В (или В включает событие А). В этом случае событие А так же называют частным случаем события В и обозначают АÌ В.

Если одновременно АÌ В и ВÌ А, то в этом случае события А и В называются равносильными.

Два события A и В называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого. В противном случае события называются совместными.

Несколько событий образуют полную группу (полную систему), если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания.

Частным случаем событий, образующих полную группу, являются противоположные события. Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти, называются противоположными. Событие, противоположное событию А,обозначается .

Суммой (объединением) двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В, то есть С = А + В или .

Произведением (пересечением) двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении и события А, и события В, то есть С = А·В или .

Операции сложения и умножения событий обладают следующими свойствами:

· А+В = В+А — коммутативность сложения;

· А+ (В+С) = (А+В) +С — ассоциативность сложения;

· АВ = ВА — коммутативность умножения;

· А (ВС) = (АВ) С — ассоциативность умножения;

· А (В+С) = АВ+АС; А+ВС= (А+В)(А+С)– законы дистрибу­тивности.

Пример 1.1.1. Опыт состоит в бросании двух монет. Рассматриваются следующие события:

А — появление герба на первой монете; В — появление цифры на первой монете; С — появление герба на второй монете; D — появление цифры на второй монете; Е — появление хотя бы одного герба; F — появление хоты бы одной цифры; G — появление одного герба и одной цифры; Н — не появление ни одного герба; К — появление двух гербов.

Определить каким событиям этого списка эквивалентны следующие события: а) С; б) С; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

Решение.

а) С— событие, состоящее в появлении или события А (герб на первой монете), или события С (герб на второй монете), или в совместном появлении событий А и С (гербы на первой и второй монетах), т.е. в появлении хотя бы одного герба, значит С=Е;

б) С — событие, состоящее в совместном появлении событий А и С (гербы на первой и на второй монетах), т.е. появление двух гербов С = К;

в) — событие, состоящее в совместном появлении события Е (герб на первой монете или герб на второй монете, или на обеих монетах) и события F (цифра на первой монете, или цифра на второй монете, или цифры на обеих монетах), т. е. появление одного герба и одной цифры: = G;

г-д) Так как событие Е состоит в появлении герба на первой монете, или на второй, а событие G в появлении одного герба и одной цифры, то G включено в Е, значит = Е, а = G;

е) — событие, состоящее в совместном появлении событий В (цифра на первой монете) и D (цифра на второй монете), т. е. в непоявлении ни одного герба: = Н;

ж) Событие К — появление двух гербов включено в событие Е, то есть = Е.

 

Задачи

1.1. Указать события случайные, достоверные и невозможные среди перечисленных:

А — при бросании игральной кости выпало простое число очков;

В — появление не более 18 очков при бросании трёх игральных костей;

С — появление более 12 очков при однократном бросании двух игральных костей;

D — появление слова «декан» при случайном наборе букв а, е, д, к, н;

Е — появление в окошечке счётчика трёхзначного числа, составленного из цифр 1, 2, 3 в случайном наборе и кратного 5;

F — наугад выбранное двузначное число не больше 100.

(Ответ: события В, F – достоверные; события С, Е – невозможные; события А, D – случайные.)

1.2. Являются ли несовместными следующие события:

а) Опыт — бросание монеты.

События: А ₁ — появление герба;

А ₂ — появление цифры.

б) Опыт — бросание двух монет.

События: В ₁ — появление герба на 1-й монете;

В ₂ — появление цифры на 2-й монете.

в) Опыт — два выстрела по мишени.

События: С ₁ — ни одного попадания;

С ₂ — одно попадание;

С ₃ — два попадания.

г) Опыт — два выстрела по мишени.

События: Е ₁ — хотя бы одно попадание;

Е ₂ — хотя бы один промах.

д) Опыт — вынимание двух карт из колоды.

События: D ₁ — появление двух чёрных карт;

D ₂ — появление туза;

D ₃ — появление дамы.

(Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет.)

1.3. Назвать противоположные для следующих событий:

А — выпадение двух гербов при бросании двух монет;

В — появление белого шара при вынимании одного шара из урны, в которой 2 белых и 3 чёрных шара;

С — три попадания при трёх выстрелах;

D — хотя бы одно попадание при 5 выстрелах;

Е — не более двух попаданий при 5 выстрелах

F — выигрыш одного игрока при игре в шахматы.

(Ответ: — выпадение хотя бы одной цифры; — появление чёрного шара; — хотя бы один промах; — все 5 промахов; — более двух попаданий; — выигрыш второго или ничья.

1.4. Укажите случайные, достоверные и невозможные события среди перечисленных:

А — появление чётного числа очков при однократном бросании игральной кости;

В — наугад выбранное трёхзначное число не больше 1000;

С — получение оценки «неудовлетворительно» на экзамене;

D — появление белого шара при вынимании одного шара из урны, в которой 4 чёрных и 5 красных шаров;

Е — два попадания при трёх выстрелах;

(Ответ: достоверное событие В; невозможное событие D; случайные события А, С, Е).

1.5. Пусть событие А означает выпадение на игральном кубике чётного числа очков, событие В — число очков, кратное 3. Указать смысл событий: а) А В; б) А В.

(Ответ: а) А В — сумма событий: или чётное число очков, или кратное 3 (т.е. 2, 4, 3, 6); б) А В — произведение событий: выпадение на кубике чётного числа очков кратного трём (т.е. 6)).

Задачи

1.6. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Какова вероятность того, что это число кратно 5?

(Ответ: 0,2.)

1.7. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится четверка.

(Ответ: .)

1.8. В урне a белых и b черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется белым?

(Ответ: .)

1.9. В урне a белых и b черных шаров. Из этой урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Какова вероятность того, что этот шар также белый?

(Ответ: .)

1.10. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

(Ответ: 0,1.)

1.11. Наугад выбирают по одной букве из слов «дама» и «мама». Какова вероятность того, что эти буквы: а) одинаковы; б) различны?

(Ответ: а) 0,375; б) 0,625.)

1.12. В ящике 100 деталей, из них 8 не удовлетворяют стандарту. Найти вероятность того, что наудачу вынутая деталь окажется стандартной.

(Ответ: 0,92.)

1.13. При бросании двух игральных костей вычислить вероятность события А — сумма выпавших очков больше их произведения.

(Ответ: 3/28).

1.14. Участники жеребьёвки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлечённого жетона не содержит цифры 5.

(Ответ: 0,81.)

1.15. В книге 205 страниц. Какова вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь номер, оканчивающийся цифрой 3?

(Ответ: 21/205.)

1.16. Бросают наудачу две игральные кости. Найти вероятность того, что на обеих костях сумма выпавших очков будет: а) не менее 4; б) не более 7; в) более 3 и не более 8; г) более двух и не менее 10 очков.

(Ответ: а) 11/12; б) 7/12; в) 25/36; г) 29/36.)

 

Задачи

1.17. Отдел технического контроля обнаружил 5 бракованных изделий в партии из 1000 изделий. Найдите частоту изготовления бракованных изделий.

(Ответ: 0,005.)

1.18. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных условиях 1000 штук. 980 семян дали нормальный всход. Найдите частоту нормального всхода семян.

(Ответ: 0,98.)

1.19. По цели произведено 30 выстрелов, причем зарегистрировано 18 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель.

(Ответ: 0,6.)

1.20. При стрельбе из винтовки частость попадания в цель оказалась равной 0,7. Определить число попаданий, если было произведено 170 выстрелов.

(Ответ: ).

1.21. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,8. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов.

(Ответ: ).

1.22. Произведя 120 выстрелов, стрелок попал в цель 90 раз. Чему равна статистическая вероятность попадания в цель этого стрелка?

(Ответ: 0,75.)

1.23. Грузовая машина, обслуживающая торговую базу в течение квартала (90 дней) перевозила 20 дней по 18 т, 35 дней по 16 т, 30 дней по 15 т и 5 дней по 5 т. Какова статистическая вероятность перевозки этой машиной более 15 т в день?

(Ответ: 11/18.)

 

Задачи

1.24. Точка брошена в круг радиуса R. Найдите вероятность того, что она попадает внутрь данного вписанного квадрата.

(Ответ: .)

1.25. В квадрат с вершинами в точках (0,0), (0,1), (1,1), (1,0) наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству y < 2 x.

(Ответ: 0,75.)

1.26. Расстояние от пункта А до пункта В автобус проходит за 2 мин, а пешеход – за 15 мин. Интервал движения автобусов 25 мин. Вы подходите в случайный момент времени к пункту А и отправляетесь в пункт В пешком. Найдите вероятность того, что в пути вас догонит очередной автобус.

(Ответ: 0,52.)

1.27. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов равновозможно в течение данных суток. Найдите вероятность того, что одному из пароходов придется ждать освобождения причала, если время стоянки первого парохода 1 ч, а второго – 2 ч.

(Ответ: 0,121.)

1.28. В прямоугольник со сторонами 1 и 2 брошена точка А. Найдите вероятности следующих событий: а) расстояние от точки А до ближайшей стороны прямоугольника не превосходит х; б) расстояние от точки А до любой стороны прямоугольника не превосходит х; в) расстояние от точки А до ближайшей диагонали прямоугольника не превосходит х.

(Ответ: а) б)

в) .)

1.29. В квадрат со стороной а брошена точка А. Найдите вероятность того, что расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата меньше, чем расстояние от А до ближайшей диагонали.

(Ответ: )

 

Элементы комбинаторики

 

Очень часто непосредственный перебор всех возможных исходов опыта затруднителен в силу их большого количества. Для решения таких задач полезно использовать некоторые комбинаторные формулы.

Пусть А_i (i = 1,2,..., n) — элементы конечного множества.

Правило суммы. Если элемент А ₁может быть выбран п ₁ способами, элемент А ₂ — другими п ₂способами, А ₃ — отличными от первых двух п ₃ способами и т.д., А_k — п_k способами, отличными от первых (k – 1) способов, то выбор одного из элементов: или А ₁,или А ₂, ...,или А_k может быть осуществлен п₁+п₂+…+ п_k способами.

Правило произведения. Если элемент А ₁может быть выбран п ₁ способами, после такого выбора элемент А₂ может быть выбран п₂ способами и т.д., после каждого (k – 1) выбора элемент А_k может быть выбран п_k способами, то выбор всех элементов А ₁, А ₂,..., А_k в указанном порядке может быть осуществлен п₁ ´ п₂ ´ ... ´ п_k способами.

Виды комбинаций

Пусть дано множество из п различных элементов. Из этого множества могут быть образованы подмножества из т элементов ( ).

Размещением из п элементов по т называется любое упорядоченное подмножество из т элементов множества, состоящего из п различных элементов, т.е. комбинации из n элементов по m отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем, и другим). Число размещений определяется по формуле

или .

Пример 1.5.1. Сколько двузначных чисел можно составить из трех цифр 3, 5, 7?

Решение. Каждый вариант чисел представляет набор 2 цифр из 3, отличающийся от других вариантов как составом цифр, так и порядком их следования, т.е. является размещением из 3 элементов по 2. Число вариантов чисел, т.е. число размещений из 3 по 2, находим по формуле:

.

Сочетанием из п элементов по т любое подмножество из т элементов множества, состоящего из п различных элементов, то есть комбинации из n элементов по т отличаются только составом элементов. Число сочетаний из п элементов по т:

или .

Свойства числа сочетаний:

, ; ;

; .

Пример 1.5.2. Сколько различных произведений из двух цифр можно составить, используя цифры 3, 5, 7.

Решение. Каждое произведение чисел представляет набор двух цифр из трёх, отличающийся от других только составом пар, то есть представляет собой сочетание двух цифр из трёх. Число вариантов произведения равно:

.

Перестановкой из п элементов называется любое упорядоченное множество, в которое входят по одному разу все п различных элементов данного множества, то есть комбинации из п элементов отличаются только порядком расположения этих элементов. Число перестановок из п элементов определяется по формуле:

Пример 1.5.3. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение. Каждый вариант комбинации четырех чисел отличается только порядком расположения этих чисел, то есть является перестановкой из четырех чисел. Их число определяется по формуле:

.

 

Если в размещениях (сочетаниях) из п элементов по т некоторые из элементов (или все) могут оказаться одинаковыми, то такие размещения (сочетания) называют размещениями (сочетаниями) с повторениями.

Число размещений с повторениями определяется по формуле:

,

а число сочетаний с повторениями определяется по формуле: .

Пример 1.5.4. В конкурсе участвуют 7 участников по двум номинациям. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены: а) различные призы; б) одинаковые призы?

Решение. а) Каждый вариант распределения призов представляет собой комбинацию 2 призов среди 7 участников, отличающуюся от других комбинаций как составом участников, так и порядком их номинирования, причем одни и те же участники могут повторяться, т.е. представляет собой размещение с повторениями из 7 элементов по 2. Их число по формуле:

.

б) Если по каждой номинации установлены одинаковые призы, то порядок следования участников не имеет значения, а число вариантов распределения призов представляет собой число сочетаний с повторениями из 7 участников по 2:

.

 

Если в перестановках из общего числа п элементов есть k различных элементов, при этом первый элемент повторяется n ₁ раз, 2-й элемент – n ₂ раз, k -й элемент – n_k раз, причем n ₁+ n ₂+…+ n_k = п, то такие перестановки называют перестановками с повторениями из п элементов. Число перестановок с повторениями из п элементов определяется по формуле

.

Пример 1.5.5. Сколько существует пятизначных чисел, составленных из цифр 1, 2 и 3, в которых цифра 1 встречается 1 раз, а цифры 2 и 3 – по 2 раза?

Решение. Каждое пятизначное число отличается от другого порядком следования цифр (причем n ₁+ n ₂+ n ₃=5), т.е. представляет собой перестановки с повторениями из 5 элементов. Их число по формуле:

.

Пример 1.5.6. В группе 25 студентов. Вызываются во время занятия 3 студента. Полагая, что вызов производится случайно, определить, какова вероятность того, что будут вызваны данные 3 студента в определенном порядке (событие А).

Решение. В качестве одного исхода будем считать вызов любых трёх студентов в определённом порядке. Таким образом, каждый исход представляет собой размещение по 3 элемента из 25. Всего таких исходов будет , среди них благоприятствующий исход 1. Следовательно,

.

Пример 1.5.7. 10 человек садятся случайным образом за круглый стол. Найти вероятность того, что два определённых лица окажутся рядом.

Решение. Общее число всех возможных исходов n = 10!. Два выбранных лица могут сесть рядом двадцатью способами (т.е. первый может выбрать себе место десятью способами, тогда второй может сесть либо слева, либо справа от него). Оставшиеся 8 мест могут быть распределены среди остальных лиц числом способов, равным 8!. Поэтому m = 20·8!

.

Пример 1.5.8. Собрание, на котором присутствуют 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут две женщины и один мужчина (событие А).

Решение. Общее число всех возможных исходов — это число сочетаний из 25 человек по 3, т.е. n = . Число исходов благоприятствующих событию А, найдем как произведение числа сочетаний из 5 женщин по 2 и числа сочетаний из 20 мужчин по 1, т.е. . Тогда

.

 

Задачи

1.30. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок одинаковой стоимости. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?

(Ответ: 20.)

1.31. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнить переводы с любого из 5 языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского – на любой другой из этих 5 языков?

(Ответ: 20.)

1.32. У одного студента 5 книг, у другого – 9. Все книги различные. Сколькими способами студенты могут произвести обмен: а) одной книги на книгу? б) 2 книги на 2 книги?

(Ответ: а) 45; б) 360.)

1.33. На вершину горы ведут 5 тропинок. Сколькими способами турист может подняться в гору и потом спуститься с нее? Решите эту задачу с дополнительным условием: подъем и спуск должны происходить по разным тропинкам.

(Ответ: 25; 20.)

1.34. Сколькими способами на шахматной доске можно указать: а) 2 клетки; б) 2 клетки одного цвета; в) 2 клетки разного цвета?

(Ответ: а) 2016; б) 992; в) 1024.)

1.35. Имеются 3 письма, каждое из которых можно послать по 6 различным адресам. Сколькими способами можно осуществить рассылку писем, если: а) никакие 2 письма не посылать по одному адресу; б) по одному можно адресу посылать более одного письма.

(Ответ: а) 120; б) 216.)

1.36. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человек при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

(Ответ: 3024.)

1.37. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых состоит не более чем из 3 цифр. Сколько таких чисел можно составить, если: а) повторение цифр в числах не разрешается; б) разрешается повторение цифр?

(Ответ: а) 85; б) 155.)

1.38. Сколькими способами 3 различных подарка А, В и С можно сделать каким-то 3 из 15 лиц, если: а) никто не должен получать более одного подарка; б) подарок А должно получить определенное лицо?

(Ответ: а) 2730; б) 182.)

1.39. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

(Ответ: 502.)

1.40. Сколько существует различных автомобильных номеров, которые состоят из пяти цифр, если первая цифра не равна нулю?

(Ответ: 90000.)

1.41. Сколькими способами можно расставить на полке семь различных книг, если: а) две определенные книги должны стоять рядом; б) эти две книги не должны стоять рядом?

(Ответ: а) 1440; б) 3600.)

1.42. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую – 5 и в третью – 12. Сколькими способами это можно сделать?

(Ответ: .)

1.43. Для участия в команде тренер отбирает пять мальчиков из десяти. Сколькими способами он может сформировать команду, если два определенных мальчика должны войти в команду?

(Ответ: 56.)

1.44. В течение четырех недель студенты сдают четыре экзамена, в том числе два экзамена по математике. Сколькими способами можно распределить экзамены по неделям так, чтобы экзамены по математике не следовали один за другим?

(Ответ: 12.)

1.45. Восемь человек должны сесть в два автомобиля, причем в каждом должно быть по крайней мере три человека. Сколькими способами они могут это сделать?

(Ответ: 182.)

1.46. Сколько различных слов можно получить из всех букв слова «перестановка»?

(Ответ: 119750400.)

1.47. Сколько различных чисел можно получить, переставляя цифры числа 2 233 344 455?

(Ответ: 25200.)

1.48. Имеется 20 наименований товаров. Сколькими способами их можно распределить по трем магазинам, если известно, что в первый магазин должно быть доставлено восемь наименований, во второй – семь наименований и в третий – пять наименований товаров?

(Ответ: .)

1.49. В вазе стоят 9 красных и 7 белых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из нее а) 3 гвоздики; б) 6 гвоздик одного цвета; в) 4 красных и 3 белых гвоздики?

1.50. Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 16 соревнующихся?

1.51. В студенческой группе 12 девушек и 16 юношей. Сколькими способами можно выбрать двух студентов одного пола?

1.52. Сколько чисел, содержащих не менее трех попарно различных цифр, можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, 9?

1.53. Если подбросить одновременно три игральные кости, то сколько имеется различных возможных комбинаций выброшенных очков?

1.54. Из отряда солдат в 50 человек, среди которых есть рядовой Иванов, назначаются в караул 4 человека. Сколькими способами может быть составлен караул? В скольких случаях в число караульных попадет рядовой Иванов?

1.55. В цветочном магазине 7 видов цветов. Сколькими различными способами можно составить букет, содержащий 3 цветка?

1.56. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 5, 7, если: а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться?

1.57. Сколькими способами 3 награды могут быть распределены между 10 участниками соревнования?

1.58. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (три горизонтальные полосы), если имеется материал 5 различных цветов?

1.59. Сколькими способами можно расставить на книжной полке 10-ти томное собрание сочинений, располагая их: а) в произвольном порядке; б) так, чтобы I, V и IX тома стояли рядом (в любом порядке); в) так, чтобы I, II и III тома не стояли рядом (в любом порядке);

1.60. В комнате имеется 7 стульев. Сколькими способами можно разместить на них 7 гостей? 3 гостя?

1.61. Студенты сдают 5 экзаменов, в том числе 2 экзамена по математике. Сколькими способами можно распределить экзамены, но так, чтобы экзамены по математике следовали один за другим? Не следовали один за другим?

1.62. Владимир хочет пригласить в гости троих из семи своих лучших друзей. Сколькими способами он может выбрать приглашенных?

1.63. Сколькими способами можно разбить 8 предметов на две равные по количеству предметов группы?

1.64. Пять авторов должны написать задачник по математике, состоящий из 14 глав. Два автора напишут по 2 главы, два других – по 3 и еще один – 4 главы книги. Сколькими способами может быть распределен материал между авторами?

1.65. В ящике 15 деталей, среди которых 6 бракованных. Наудачу выбирается комплект из 5 деталей. Сколько всего комплектов, в каждом из которых 2 детали бракованные?

1.66. Пять человек вошли в лифт на первом этаже 9-ти этажного дома. Сколькими различными способами пассажиры могут выйти из лифта на нужном этаже? На восьмом этаже?

1.67. Встретившись перед занятиями 25 студентов, обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

1.68. Из состава конференции, на которой присутствуют 52 человека, надо избрать счетную комиссию, состоящую из 5 человек. 1) Сколькими способами это можно сделать? 2) Предположим, что в состав делегатов конференции входит Петров. Сколько существует способов выбора комиссии, при которых Петров входит в состав комиссии? 3) Сколько существует способов выбора комиссии, при которых Петров не входит в состав комиссии?

1.69. Сколько аккордов можно взять на 10 выбранных клавишах рояля, если каждый аккорд может содержать от 3 до 10 звуков?

1.70. В гостини