Приближенные формулы Пуассона и Лапласа

 

При больших значениях n подсчет вероятностей P_n (m) по формуле Бернулли технически сложен, тем более, что р и q — числа дробные. Поэтому используют более простые приближенные формулы, которые называют асимптотическими. К ним относятся теорема Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Теорема Пуассона. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании стремится к нулю () при неограниченном увеличении числа п испытаний (), причем произведение пр стремится к постоянному числу l (), то вероятность того, что событие А появится т раз в п независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству

Число l — среднее число появлений события в различных сериях испытаний, которое сохраняет постоянное значение.

Если вероятность р — постоянна и мала, число испытаний п — велико и число λ = пр — незначительно (будем полагать, что или ), то из предельного равенства вытекает приближенная формула Пуассона:

.

Пример 2.2.1. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию равна 0,01. Найдите вероятности следующих событий: а) в течение часа 5 абонентов позвонят на станцию; б) в течение часа не более 4 абонентов позвонят на станцию; в) в течение часа не менее 3 абонентов позвонят на станцию.

Решение. Так как р = 0,01 мало и n = 400 велико, то будем пользоваться приближенной формулой Пуассона при l = 400×0,01 = 4.

а) Р ₄₀₀ (5)» » 0,156293; (см. таблицу 4 приложения).

б) Р ₄₀₀ (0 £ m £ 4)= Р ₄₀₀ (0) + Р ₄₀₀ (1) + Р ₄₀₀ (2) + Р ₄₀₀ (3) + Р ₄₀₀ (4)» 0,018316 + 0,073263 +

+ 0,146525 + 0,195367 + 0,195367 = 0,628838;

в) Р ₄₀₀(3£ m £400) = 1 – Р ₄₀₀(0£ m £2) = 1 – 0,018316 – 0,073263 – 0,146525 = 0,761896.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А произойдет m раз в п независимых испытаниях при достаточно большом числе п приближенно равна

,

где и .

Чем больше п, тем точнее данная приближенная формула. Вычисление по этой формуле дает незначительную погрешность при выполнении условия .

Для упрощения расчетов, связанных с применением этой формулы, составлена таблица значений функции f (х) (табл. I приведенная в приложении). Пользуясь этой таблицей, необходимо иметь в виду свойства функции f(х):

1. функция f (х) является четной, т.е. f (– х) = f (х);

2. функция f (х) – монотонно убывающая при положительных значениях х, причем при (практически можно считать, что уже при х > 4 f(х)» 0).

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число т наступления события А в п независимых испытаниях заключено в пределах от т ₁ до т ₂ (включительно), при достаточно большом числе п приближенно равна

где функция (стандартный интеграл вероятностей) Лапласа

,

где , .

Чем больше п, тем точнее эта формула. При выполнении условия интегральная формулаМуавра-Лапласа, так же как и локальная, дает незначительную погрешность вычисления вероятностей.

Функция Ф (х) табулирована (см. табл. II приложений). Для применения этой таблицы нужно знать свойства функции Ф (х).

1. Функция Ф(х) нечетная, т.е. Ф(–х) = –Ф(х).

2. Функция Ф (х)монотонно возрастающая, причем при (практически можно считать, что уже при х > 4 Ф (х) » 1).

Следствие. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе п независимых испытаний: а) вероятность того, что абсолютная величина отклонения числа т наступлений события А от произведения пр (среднее число появлений события) не более, чем на величину ε > 0 приближенно равна функции Лапласа при , т.е.

.

б) вероятность того, что частость события А заключена в пределах от до (включительно) приближенно равна

где , .

в) вероятность того, что абсолютная величина отклонения относительной частоты события А от его вероятности р не более, чем на величину ε > 0 (по абсолютной величине), приближенно равна функции Лапласа при , т.е.

.

 

Пример 2.2.2. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что: а) из 400 семей 300 имеют холодильники; б) от 300 до 360 (включительно) семей имеют холодильники; в) от 280 до 360 семей имеют холодильники.

Решение.

а) Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна р =80/100=0,8. Так как п= 100 достаточно велико (условие выполнено), то применяем формулу локальной теоремы Муавра-Лапласа.

Вначале определяем

.

Тогда

.

(значение найдено по таблице I приложений). Весьма малое значение вероятности не должно вызывать сомнения, так как кроме события «ровно 300 семей из 400 имеют холодильники» возможно еще 400 событий: «0 из 400», «1 из 400»,..., «400 из 400» со своими вероятностями. Все вместе эти события образуют полную группу, а значит сумма их вероятностей равна единице.

б) Применяем интегральную теорему Муавра-Лапласа (). Вначале определим

, .

Теперь, учитывая свойства Ф (х), (по таблице II приложений Ф (2,50) = 0,9876, Ф(5,0)»1), получим

.

в) Вычислить вероятность Р₄₀₀(280£ т £360) можно аналогично пункту (б) примера, но проще это сделать, если заметить, что границы интервала 280 и 360 симметричны относительно величины пр= 320. Тогда

 

 

Задачи

2.25. Вероятность рождения мальчика примем равной 0,51. Найдите вероятность того, что среди 200 новорожденных детей будет: а) 100 мальчиков; б) 90 мальчиков; в) 110 мальчиков; г) от 90 до 110 мальчиков.

2.26. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,85. Найдите вероятность того, что из 500 высеянных семян взойдет: а) 425 семян; б) 400 семян; в) 450 семян; г) от 425 до 450 семян.

2.27. Вероятность того, что покупателю требуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что среди 100 покупателей потребуют обувь 41-го размера: а) 25 человек; б) от 10 до 30 человек; в) не более 30 человек; г) не менее 35 человек.

2.28. 100 станков работают независимо друг от друга, причем вероятность бесперебойной работы каждого из них в течение смены равна 0,8. Найдите вероятность того, что в течение смены бесперебойно проработают: а) 85 станков; б) от 75 до 85 станков.

2.29. Вероятность выхода из строя за время t одного конденсатора равна 0,2. Найдите вероятность того, что за время t из 100 независимо работающих конденсаторов выйдут из строя: а) не менее 20 конденсаторов; б) менее 28 конденсаторов; в) от 14 до 26 конденсаторов.

2.30. Вероятность появления события А в каждом из 1500 независимых испытаний равна р = 0,4. Найдите вероятность того, что число появлений события А заключено между: а) 570 и 630; б) 600 и 660.

2.31. Вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие А появится не менее 75 раз?

2.32. Вероятность получения положительного результата в каждом из независимых опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?

2.33. Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найдите вероятность наиболее вероятного числа бракованных деталей среди наудачу отобранных 100 деталей.

2.34. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,0002. Найдите вероятность того, что среди 5000 изделий в пути будет повреждено: а) ровно 3 изделия; б) ровно одно изделие; в) не более 3 изделий; г) более 3 изделий.

2.35. Кинотеатр вмещает 730 зрителей. Найдите вероятность того, что: а) 3 зрителя родились в один день (скажем, 1 марта); б) не более 3 зрителей родились в один день.

2.36. В среднем левши составляют 1 %. Какова вероятность того, что среди 200 студентов найдется: а) ровно 4 левши; б) не менее чем 4 левши.

2.37. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найдите вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно 2; б) не менее 2; в) более 2; г) хотя бы одну.

2.38. Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найдите вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.

2.39. Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки, равна 0,002. Проверяется книга, содержащая 500 страниц. Найдите вероятность того, что с опечатками окажутся: а) 5 страниц; б) от 3 до 5 страниц.

2.40. Радиоаппаратура состоит из 1000 микроэлементов. Вероятность отказа каждого элемента в течение суток равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Найдите вероятность отказа: а) 2; б) не менее 2 элементов за сутки.

2.41. Опыт состоит в бросании монеты 4040 раз (опыт Бюффона), причем герб выпал 2048 раз. Найдите вероятность того, что при повторении опыта Бюффона частота появления герба отклонится от 0,5 не более, чем в опыте Бюффона.

2.42. Опыт состоит в бросании игральной кости 600 раз. Оцените вероятность того, что частота выпадения шестерки отклонится от вероятности выпадения шестерки в одном бросании менее чем: а) на 0,01; б) на 0,02.

Варианты контрольных заданий

Номера задач для контрольной работы № 1

 

№ варианта	Номера задач
k	k	k +30	k +60	k +90	k +120

 

Примечание. Номер варианта k соответствует номеру студента в журнале группы.