Деформация сплошных сред. Упругая и остаточная деформация. Количественная характеристикадеформаций. Закон Гука, модуль Юнга. Энергия упругих деформаций.

Сплошной средой называется физическое тело, свойства которого в соседних точках мало отличаются. Это означает, что физические величины, определяющие рассматриваемые свойства сплошной среды, близки в соседних точках. Традиционными примерами таких тел являются жидкости или газы.

Упругими называют деформации, исчезающие после снятия вызвавшей их нагрузки. Остаточные (пластические) – часть полных деформаций не исчезающая после разгружения элемента.

При всем многообразии случаев произвольную деформацию тела можно свести к двум элементарным деформациям — растяжению (сжатию) и сдвигу.

Модуль упругости является количественной характеристикой жесткости материалаи определяется, как тангенс угла наклона α на прямолинейном отрезке диаграммы растяжения OA (рис.4.5).Модуль упругости определяется силами межатомного взаимодействия и практически не зависит от состава и структуры материала. Количественной характеристикой упругости является условный предел упругости - напряжение, при котором остаточная микродеформация равна определенной заданной величине в пределах от 0,001 до 0,05%. Количественными характеристиками прочности материала являются предел текучести и предел прочности. В зависимости от вида получаемой диаграммы растяжения для различных материалов определяют либо условный предел текучести, либо физический предел текучести.Условный предел текучести – напряжение, соответствующее условно заданной величине деформации, равной 0,2%.

Закон Гука: для малых деформаций относительное уд­линение e прямо про­порционально вызывающему его напряжению s:. –относительное удлинение (относительная деформация). где Е – коэффициент пропорциональности,называется модулем Юнга.: модуль Юнгачисленно равен напряжению, вызывающему относительное удлинение, равное единице.При относительном удлинении, равном единице , абсолютное удлинение l = l, откуда получаем: модуль Юнга численно равен тому напряжению, которое растягивает стержень вдвое. На самом деле большинство материалов разрушается раньше, чем они будут растянуты вдвое, поэтому фактически нельзя приложить к стержню напряжение численно равное модулю Юнга.

Вычислим энергию упруго растянутого (сжатого) стержня. При растяжении на стержень необходимо действовать силой, величина которой определяется выраже­нием (113). Работа этой силы равна где буквой х обозначено абсолютное удлинение стержня, которое в процессе деформации изменяется от 0 до Δl. Сила f, соответствующая удлинению х, согласно (113) равна

Следовательно, Умножая числитель и знаменатель полученного выражения на l, заменяя затем отношение Δl/l относительным удлинением ε и учитывая, наконец, что Sl дает объем стержня V, получим: (121)Введем в рассмотрение плотность энергии u, которую определим как отношение энергии ΔU к тому объему ΔV, в котором она заключена: Поскольку в нашем случае стержень однороден и деформация является равномерной, т. е. одинаковой в разных точках стержня, энергия (121) распределена в стержне также равномерно с постоянной плотностью. Поэтому можно считать:

(122)Выражение (122) дает плотность энергии упругой деформации при растяжении (или при сжатии). Аналогичным образом можно получить, что плотность энергии упругой деформации при сдвиге равна