Раздел 14. Практикум. Часть 1. Решение задач.

Разделы курса

·Основные понятия. Определения вероятности. Комбинаторика.

·Действия над событиями

·Формула полной вероятности. Формула Байеса

·Повторение испытаний. Относительная частота и вероятность

·Дискретные случайные величины. Числовые характеристики

·Закон больших чисел предельные теоремы

·Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики

·Типовые законы распределения

·Система двух случайных величин

·Статистическая обработка экспериментальных данных. Оценка параметров. Проверка статистических гипотез

·Дисперсионный анализ

·Понятие о корреляционном и регрессионном анализах

· Практикум. Часть 1. Решение задач.

·Практикум. Часть 2. Решение задач.

·Таблицы

Раздел 14. Практикум. Часть 1. Решение задач.

Прохоренкова А.Т.

 

Практикум. Сборник задач с решениями по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика». Часть1 – Смоленск: СИБП, 2013. – 101 с.

 

Практикум предназначен для самостоятельной работы студентов по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» и по курсу «Статистика. Теория статистики». Практикум представляет собой сборник задач с решениями, причем решения снабжены всеми необходимыми рассуждениями и пояснениями. Сборник ориентирован на студентов экономических специальностей. Данный практикум может быть использован при самостоятельной подготовке студентов к практическим занятиям, при подготовке к выполнению расчетных заданий, а также при подготовке к сдаче зачета и тестированию.

Знакомство с материалами практикума не заменяет изучение курса лекций «Теория вероятностей и математическая статистика», а предполагает их параллельное освоение.

Основное внимание в практикуме уделено применению методов теории вероятностей для решения практических задач и возможному толкованию полученных результатов (что является немаловажной задачей).

При подготовке практикума использованы, в частности, материалы, размещенные в Internet.

 

Утверждено редакционно-издательским советом СИБП.

 

 

Рекомендовано к изданию на заседании кафедры естественнонаучных и гуманитарных дисциплин СИБП.

 

 

Ó Прохоренкова А.Т., 2013

Ó Смоленский институт бизнеса

и предпринимательства, 2013

Введение

 

Предлагаемый практикум по теории вероятностей и математической статистике предназначен для студентов экономических специальностей, изучающих курс теории вероятностей и математической статистики.

В практикуме представлены задачи, которые служат для усвоения материала всех разделов теории вероятностей на конкретных примерах, возникающих в практике управления экономическими и финансовыми системами. В процессе решения таких задач студент не только закрепляет и углубляет теоретические знания, полученные на лекциях, но и учится применять эти знания при постановке и решении реальных экономических задач.

В предлагаемом практикуме особое внимание уделяется не только методам решения задач, но и анализу и экономической интерпретации полученных результатов.

В результате использования данного пособия студент знакомится с основными проблемами управления, экономики, финансов и других смежных областей, при решении которых полезно применение вероятностно-статистических методов, учится ориентироваться в математических методах и по экономической постановке задачи определять, в каком разделе математики искать средства для её решения.

 

Основные понятия. Классическое определение вероятности

Теория

 

Опытом, или испытанием, называют всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление. Возможный результат опыта называют событием.

События обозначают заглавными буквами латинского алфавита А, В, С,...

Событие называется достоверным в данном опыте, если оно обязательно произойдет в этом опыте.

Событие называется невозможным в данном опыте, если оно не

может произойти в этом опыте.

Событие называется случайным в данном опыте, если оно может

произойти, а может и не произойти в этом опыте.

Одно и то же событие в некотором опыте может быть достоверным, в другом - невозможным, в третьем - случайным. Говоря о достоверности, невозможности, случайности события, имеют в виду его достоверность, невозможность, случайность по отношению к конкретному опыту, т.е. к наличию определенного комплекса условий или действий.

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает, появление другого в этом опыте.

Два события называются несовместными, если они не могут произойти вместе в одном и том же испытании.

Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны.

Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого. Если одно из противоположных событий обозначено буквой А, то другое обозначают.

Множество событий называют полной группой событий, если они попарно несовместны; появление одного и только одного из них является достоверным событием.

События считают равновозможными, если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другие.

Каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, называется элементарным исходом (элементарным событием, или шансом).

Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называются благоприятствующими этому событию, или благоприятными шансами.

Согласно классическому определению вероятности вероятность события А равна

(1.1)

где m – число исходов испытания, благоприятствующих событию А,

n – число всех равновозможных несовместных исходов испытания, образующих полную группу.

Вероятность события имеет следующие свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице. Принято обозначать достоверное событие буквой U. Для достоверного события m= n, поэтому

(1.2)

2. Вероятность невозможного события равна нулю. Принято обозначать невозможное событие буквой V. Для невозможного события m = 0, поэтом

(1.3)

3. Вероятность случайного события выражается положительным

числом, меньшим единицы: Поскольку для случайного события А выполняется неравенство 0 < m <n, то

(1.4)

4. Вероятность любого события В удовлетворяет неравенству

(1.5)

Задачи

Задача 1. Подбрасывают два игральных кубика и записывают число очков на верхних гранях обоих кубиков.

Записать полную группу событий в этом опыте.

Решение. Будем записывать возможные исходы опыта в виде (n, m), где n – число очков, выпавших на верхней грани одного кубика, а m – число очков, выпавших на верхней грани другого кубика. Запишем результаты в виде таблицы (см. таблицу 1.1):

Таблица 1.1

Возможные исходы опыта

(1,1)	(2,1)	(3,1)	(4,1)	(5,1)	(6,1)
(1,2)	(2,2)	(3,2)	(4,2)	(5,2)	(6,2)
(1,3)	(2,3)	(3,3)	(4,3)	(5,3)	(6,3)
(1,4)	(2,4)	(3,4)	(4,4)	(5,4)	(6,4)
(1,5)	(2,5)	(3,5)	(4,5)	(5,5)	(6,5)
(1,6)	(2,6)	(3,6)	(4,6)	(5,6)	(6,6)

 

Из таблицы следует, что возможно 36 равновозможных элементарных исхода.

Задача 2. Сколько элементарных исходов благоприятствует событию "на обоих кубиках выпало одинаковое число очков" при подбрасывании двух игральных кубиков?

Решение. Согласно таблице 1.1 этому событию благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6).

Задача 3. Подбрасывается два игральных кубика. Какому событию благоприятствует больше элементарных исходов: "сумма выпавших очков равна 7" или "сумма выпавших очков равна 8"?

Решение. Согласно таблице 1.1 событию "сумма выпавших очков равна 7" благоприятствуют 6 исходов: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Событию "сумма выпавших очков равна 8" благоприятствуют 5 исходов: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). Следовательно, первому событию благоприятствует больше элементарных исходов.

Задача 4. Подбрасываются три игральных кубика и подсчитываются суммы очков, выпавших на верхних гранях. Сколькими способами можно получить в сумме 5 очков?

Решение. Получить в сумме 5 очков можно шестью способами: (1;1;3), (1,3,1), (3,1,1), (1,2,2), (2,1,2), (2,2,1).

Замечание. Запись (3,2,1) означает, что на первом кубике выпало 3 очка, на втором - 2 очка, на третьем - 1очко.

Задача 5. Подбрасываются три игральных кубика и подсчитываются суммы очков, выпавших на верхних гранях. Сколькими способами можно получить в сумме 6 очков?

Решение. Получить в сумме 6 очков можно десятью способами: (1,1,4), (1,4,1), (4,1,1), (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1), (2,2,2).

Задача 6. Опыт состоит в подбрасывании симметричной монеты. Событие А - "появление герба", событие В - "появление цифры". Являются ли данные события несовместными?

Решение. Указанные события А и В не могут произойти вместе при одном и том же испытании, следовательно, они несовместны.

Задача 7. Опыт состоит в подбрасывании симметричной монеты. Событие А - "появление герба", событие В - "появление цифры". Являются ли данные события равновозможными?

Решение. Т.к. по условию монета симметрична, то нет оснований полагать, что событие А является более возможным, чем событие В и наоборот. Следовательно, события А и В - равновозможны.

Задача 8. Опыт состоит в подбрасывании погнутой монеты. Событие А - "появление герба", событие В - "появление цифры". Являются ли данные события равновозможными?

Решение. Т.к. по условию монета погнута (т.е. несимметрична), то есть основания полагать, что одно из событий (А или В) является более возможным. Следовательно, события А и В - неравновозможны.

Задача 9. Опыт состоит в том, что производится выстрел по мишени. События А - "попадание", событие В - "промах". Являются ли данные события равновозможными?

Решение. В общем случае нет оснований полагать, что данные события А и В являются равновозможными.

Задача 10. Опыт состоит в подбрасывании симметричной монеты. Событие А - "появление герба", событие В - "появление цифры". Образуют ли полную группу событий эти события?

Решение. Чтобы события А и В образовывали полную группу событий,

они должны быть несовместны и появление одного и только одного

из них должно являться достоверным событием. В данном случае указанные события А и В не могут произойти вместе при одном и том же испытании, следовательно, они несовместны. С другой стороны, одно из этих событий обязательно произойдет в результате опыта. Следовательно, события А и В образуют полную группу событий.

Задача 11. Опыт состоит в подбрасывании двух симметричных монет. Событие А - "появление двух гербов", событие В - "появление двух цифр". Образуют ли полную группу событий эти события?

Решение. Чтобы события А и В образовывали полную группу событий,

они должны быть несовместны и появление одного и только одного

из них должно являться достоверным событием. В данном случае указанные события А и В не могут произойти вместе при одном и том же испытании, следовательно, они несовместны. С другой стороны, в результате опыта может произойти событие С - "появление одного герба и одной цифры", т.е. появление одного и только одного из событий А или В не является достоверным событием. Следовательно, события А и В не образуют полную группу событий.

Задача 12. Подбрасываются три игральных кубика и записывают очки, выпавшие на верхних гранях. Сколько всего элементарных исходов возможно?

Решение. Всего возможно 216 исходов.

Задача 13. Подбрасываются три игральных кубика и подсчитываются суммы очков, выпавших на верхних гранях. Сколькими способами можно получить в сумме 10 очков?

Решение. Получить в сумме 10 очков можно двадцатью семью способами: (1;6;3), (1,3,6), (1,5,4), (1,4,5), (2,6,2), (2,2,6), (2;5;3), (2,3,5), (2,4,4), (3,6,1), (3,1,6), (3,5,2), (3;2;5), (3,4,3), (3,3,4), (4,5,1), (4,1,5), (4,4,2), (4;2;4), (4,3,3), (5,4,1), (5,1,4), (5,3,2), (5,2,3), (6,3,1), (6,1,3), (6,2,2).

Задача 14. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 шара красных и 6 голубых. Из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Решение. Событие "извлеченный шар оказался голубым" обозначим

буквой А. Данное испытание (извлечение одного шара из урны) имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию А. В соответствии с формулой (1.1) получаем

 

Задача 15. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5?

Решение. Обозначим через А событие "число на взятой карточке

кратно 5". В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию А благоприятствуют 6 исходов (это извлечение карточек с числами 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно,

 

Задача 16. Подбрасываются два игральных кубика и подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность события В, состоящего в том, что на верхних гранях кубиков в сумме будет 9 очков.

Решение. В этом испытании всего равновозможных элементарных исходов (см. таблицу 1.1 к задаче 1). Событию В благоприятствуют 4 исхода: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), поэтому

 

Задача 17. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?

Решение. Обозначим буквой С событие "выбранное число является простым". В данном случае n = 10, m = 4 (в первом десятке простые числа 2, 3, 5, 7). Следовательно, искомая вероятность равна

 

Задача 18. Подбрасываются две симметричные монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах обеих монет оказались цифры?

Решение. Обозначим буквой D событие "на верхней стороне каждой

монеты оказалась цифра". В этом испытании 4 равновозможных

элементарных исхода: (Г, Г), (Г, Ц), (Ц, Г), (Ц, Ц). (Запись (Г, Ц) означает, что на первой монете выпал герб, на второй монете выпала цифра). Событию D благоприятствует один элементарный исход (Ц, Ц). Поскольку m = 1, n = 4, то

 

Задача 19. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

Решение. Обозначим буквой A событие "в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы ". Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (это числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Так как в данном случае m = 9, n = 90, то

 

Задача 20. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее - получить в сумме 7 очков или 8 очков?

Решение. Обозначим буквой A событие "выпало 7 очков" и буквой В событие "выпало 8 очков". Событию А благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), а событию В благоприятствует 5 элементарных исходов: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Всего возможно 36 равновозможных элементарных исходов (см. таблицу 1.1 к задаче 1), тогда

 

 

Следовательно, получить в сумме 7 очков - более вероятное событие, чем получить в сумме 8 очков.

Комбинаторика и вероятность

Теория

 

Комбинаторика изучает способы подсчета числа комбинаций, которые могут быть составлены из элементов конечного множества. При этом все составленные комбинации должны удовлетворять определенному требованию.

Формулы комбинаторики, используют при непосредственном

вычислении вероятностей.

Комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов

и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются

перестановками этих элементов. Число всевозможных перестановок из

k элементов обозначают и находят по формуле:

(2.1)

Замечание. читается «ка факториал».

Замечание. Для пустого множества принимается соглашение: пустое множество можно упорядочить только одним способом; по определению полагают

Размещениями называют комбинации составленные из k различных элементов по m элементов в каждой комбинации. Комбинации отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений определяется формулой

(2.2)

Сочетаниями из k различных элементов по m называются комбинации, содержащие m элементов в каждой комбинации, причем эти элементы выбраны из числа k заданных элементов. Комбинации отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из k элементов по m находят по формуле

(2.3)

Замечание. По определению полагают

Выше предполагалось, что все k элементов, из которых составляются комбинации, различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.

Например, если среди k элементов есть элементов одного вида, элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями определяется формулой:

(2.4)

где.

Число размещений из k элементов по m элементов с повторениями равно:

(2.5)

Число сочетаний с повторениями из k элементов по m элементов равно числу сочетаний без ·повторений из k + m - 1 элементов по m элементов, т.е.:

(2.6)

При решении задач комбинаторики используют следующие правила.

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из

множества объектов m способами, а другой объект В может быть выбран из множества объектов n способами, то выбрать либо А, либо В можно способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать из множества объектов n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m· n способами.

Задачи

Задача 1. Сколькими различными способами можно выбрать три

лица на три различные должности из десяти кандидатов?

Решение. По условию имеется 10 различных кандидатов (т.е. задано множество из 10 различных элементов). Требуется составить все возможные комбинации по 3 кандидата (элемента) в каждой комбинации. Причем, т.к. должности различны, то важен не только состав комбинации, но и порядок элементов в ней.

Поясним на примере. Пусть требуется назначить сотрудников на должности менеджера, старшего менеджера и главного менеджера (обозначим их, соответственно, как 1, 2, 3). Даже из трех кандидатов можно составить 6 различных вариантов:

Таблица 2.1

Возможные варианты назначения на должности для трех кандидатов

1.	Иванов	Иванов	Петров	Петров	Сидоров	Сидоров
2.	Петров	Сидоров	Иванов	Сидоров	Иванов	Петров
3.	Сидоров	Петров	Сидоров	Иванов	Петров	Иванов

Из таблицы 2.1 видно, что возможные комбинации отличаются порядком сотрудников (элементов). Если выбор производить из 10 сотрудников, то возможные комбинации будут отличаться и составом (элементами). Т.о. здесь имеет место размещение.

Воспользуемся формулой (2.2). При k = 10, m = 3 получаем

 

 

Задача 2. Сколькими различными способами могут разместиться

на скамейке 5 человек?

Решение. Очевидно, что на скамейке все время рассаживается 5 человек (т.е. в каждой возможной комбинации участвуют все заданные элементы), но порядок размещения на скамейке может быть различным.

Чтобы пояснить сказанное, присвоим каждому человеку порядковый номер, т.е. пронумеруем элементы. Возможные способы размещения на скамейке поясним таблицей 2.2.

Таблица 2.2

Возможные способы размещения на скамейке

1 способ	1-ый	2-ой	3-ий	4-ый	5-ый
2 способ	1-ый	2-ой	3-ий	5-ый	4-ый
3 способ	1-ый	2-ой	4-ый	3-ий	5-ый
4 способ	1-ый	2-ой	4-ый	5-ый	3-ий
…	…	…	…	…	…

Следовательно, все элементы входят в каждую комбинацию, возможные комбинации отличаются только порядком образующих их элементов, т.е. это - перестановки. Расчет проводим по формуле (2.1) при k=5:

Задача 3. Сколькими способами можно выбрать три лица на три

одинаковые должности из десяти кандидатов?

Решение. По условию имеется 10 различных кандидатов (т.е. задано множество из 10 различных элементов). Требуется составить все возможные комбинации по 3 кандидата (элемента) в каждой комбинации. Причем, т.к. должности одинаковы, то важен только состав комбинации, порядок элементов в ней роли не играет. Расчет возможного числа комбинаций проводим по формуле сочетаний (2.3) при k=10 и m=3:

 

Задача 4. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 1; 1; 1; 2; 2; 2?

Решение. Всего задано 6 цифр и требуется составить шестизначные числа, т.е. все заданные элементы будут использованы для составления каждого числа (комбинации). Т.о. комбинации будут отличаться только порядком элементов, следовательно, это – перестановки. Обратим внимание, что задано три одинаковых элемента «1» и три одинаковых элемента «2». Т.к. в состав комбинаций входят одинаковые элементы, то пользуемся формулой для перестановок с повторениями (2.4) при k=6,:

 

Задача 5. Сколько различных перестановок букв можно сделать в

слове колокол?

Решение. В слове колокол, состоящем из семи букв, буква к встречается дважды, буква о - трижды, буква л - дважды. Пользуемся формулой для перестановок с повторениями (2.4) при k=7,:

 

Задача 6. На пяти одинаковых карточках написаны буквы И, К, М,

Н, С. Карточки перемешиваются и наугад раскладываются в ряд. Какова

вероятность того, что получится слово МИНСК?

Решение. Обозначим как событие А получение слова МИНСК при случайной раскладке карточек.

Пять карточек можно рассматривать как пять различных элементов, причем в каждой комбинации (в каждой раскладке) участвуют все 5 элементов. Тогда число всех возможных комбинаций, т.е. число равновозможных исходов, определяется как число перестановок из 5:

 

Благоприятствует данному событию только 1 исход, m=1.

Следовательно

 

Задача 7. Из букв слова ротор, составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд по порядку извлечения. Какова вероятность того, что получится слово тор?

Решение. Обозначим событие А – при выборе трех произвольных букв сложилось слово тор.

Чтобы отличить одинаковые буквы друг от друга, снабдим их номерами: Общее число элементарных исходов определяется как число возможных размещений из 5 элементов по 3, т.к. составляются комбинации состоящие из 3 элементов, причем важны и элементы и их порядок в комбинации.

 

Слово тор получится в 4 случаях (m=4):

 

Искомая вероятность равна

 

При подсчете числа благоприятных исходов здесь можно воспользоваться правилом произведения: букву т можно выбрать одним способом, букву о - двумя, букву р - двумя способами. Тогда

 

Задача 8. На шести одинаковых по форме и размеру карточках

написаны буквы слова талант - по одной букве на каждой карточке.

Карточки тщательно перемешаны, их вынимают наудачу и располагают

на столе одна за другой. Какова вероятность снова получить слово талант?

Решение. Пронумеруем карточки с буквами (результат см. в таблице 2.3):

т	а	л	а	н	т

 

Заметим, что слово талант (исходный порядок карточек 123456) не изменится, если буквы а переставить местами, при этом получим следующий порядок карточек:

Если в каждой из этих двух комбинаций то же проделать с буквой т, то получим еще 2 различные комбинации карточек со словом талант: 623451 и 643251.

Значит, появлению слова талант благоприятствуют 4 элементарных исхода (m=4). Общее число равновозможных элементарных исходов равно числу перестановок из 6 элементов (т.к. в каждой возможной комбинации задействованы все 6 карточек):

 

Следовательно, вероятность события A равна:

 

Задача 9. На пяти одинаковых карточках написаны буквы: на двух карточках л, на остальных трех и. Выкладывают наудачу эти карточки в ряд. Какова вероятность того, что при этом получится слово лилии?

Решение. Обозначим событие А – появление слова лилия.

Общее число возможных комбинаций (n) найдем как число перестановок с повторениями из этих пяти букв. Воспользуемся формулой (2.4), полагая в ней k=5 (общее число элементов в каждой комбинации), (число одинаковых букв л в комбинации), (число одинаковых букв и в комбинации). Получаем:

 

Это общее число равновозможных исходов опыта, т.е. n=10. Событию А благоприятствует лишь один исход (m=1). Получаем:

 

Аналогично, с использованием формулы (2.4), может быть решена и предыдущая задача.

Задача 10. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 окажутся стандартными.

Решение. Обозначим событие A – из 6 выбранных наудачу деталей 4 детали оказались стандартными.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т.к. порядок выбора деталей не играет роли, а важно только какие детали оказались выбранными, используем формулу (2.3) для сочетаний при k=10 и m=6:

 

Определяем число исходов, благоприятствующих событию А - "среди 6 взятых деталей 4 стандартных". Четыре стандартные детали из семи стандартных можно взять способами, при этом остальные 6 - 4 = 2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10 - 7 = 3 нестандартных деталей можно способами. Следовательно, число благоприятных исходов равно (правилу произведения):

.

Искомая вероятность события A равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

 

3амечание. Такая схема подсчета вероятности события пригодна для решения ряда практических задач. Например, имеется множество элементов объема N. Это могут быть изделия, каждое из которых является годным или бракованным, или семена, каждое из которых может быть всхожим или нет. Подобного рода ситуации описываются «урновой схемой»: в урне имеется N шаров, из них М черных и (N - M) красных.

Из урны, содержащей N шаров, в которой находится М черных шаров, извлекается r шаров. Требуется определить вероятность того, что в выборке объема r будет обнаружено s черных шаров. Обозначим через А событие "в выборке объема r имеется s черных шаров", тогда

(2.7)

Задача 11. Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек,

разыгрывается 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки.

Решение. Обозначим событие А – среди пяти обладателей билетов окажутся две девушки.

Очевидно, что задача может быть решена с использованием «урновой схемы» при N=25, M=10, r=5, s=2.

Воспользовавшись выражением (2.7), получаем:

 

Подставив, имеем:

 

Задача 12. В ящике находятся 15 красных, 9 черных и 6 зеленых

шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зеленый, 2 черных и 3 красных шара?

Решение. Обозначим А – событие, состоящее в том, что из ящика извлекли 1 зеленый, 2 черных и 3 красных шара.

В ящике всего 30 шаров (15+9+6=30). При извлечении 6 шаров число всех равновозможных элементарных исходов будет равно n:

 

Используем формулу для подсчета числа сочетаний, т.к. не важно в каком порядке извлекаются шары, имеет значение только то, какие именно шары были извлечены.

Подсчитаем число элементарных исходов, благоприятствующих событию А. Три красных шара из 15 можно выбрать способами, два черных шара из 9 можно выбрать способами, один зеленый из 6 - способами.

Следовательно (применяя правило произведения), число исходов, благоприятствующих событию А, будет равно

 

Тогда

 

Справочный материал

 

Классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные исходы равновозможны. О равновозможности исходов опыта заключают в силу соображений симметрии (например, в случае монеты или игрального кубика). Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. Во многих случаях трудно указать основания, позволяющие считать, что все элементарные исходы равновозможны. В связи с этим было введено еще одного определение вероятности, которое получило название статистического.

Чтобы дать это определение, введем понятие относительной частоты события.

Относительной частотой события А, или частотой события А, называется отношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначим частоту события А через W(A), тогда по определению

(3.1)

где m - число опытов, в которых появилось событие А;

n - число всех произведенных опытов.

Частота события обладает следующими свойствами.

1. Частота случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей:

0< W(A) < 1. (3.2)

2. Частота достоверного события U равна единице:

W(U) = 1. (3.3)

3. Частота невозможного события V равна нулю:

W(V)=0. (3.4)

4. Частота суммы двух несовместных событий А и В равна сумме

частот этих событий:

W(A + В) = W(A) + W(B). (3.5)

Наблюдения позволяют установить, что относительная частота обладает свойствами статистической устойчивости: в различных сериях

многочисленных испытаний (в каждом из этих испытаний событие А может появиться или не появиться) относительная частота принимает значения, достаточно близкие к некоторой постоянной. Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного события.

Вероятностью события называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний.

Это определение вероятности называется статистическим.

В случае статистического определения вероятность обладает следующими свойствами:

1) вероятность достоверного события равна единице;

2) вероятность невозможного события равна нулю;

3) вероятность случайного события заключена между нулем и единицей;

4) вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Задачи

 

Задача 1. Из 500 взятых наудачу деталей 8 оказались бракованными. Найти частоту появления бракованных деталей.

Решение. Обозначим событие А – появление бракованной детали. Так как в данном случае m= 8, n = 500, то в соответствии с формулой (3.1) находим частоту появления бракованной детали:

 

Задача 2. Игральный кубик подброшен 60 раз, при этом шестерка

появилась 10 раз. Какова частота появления шестерки?

Решение. Обозначим событие А – появление шестерки при бросании кубика. Из условия задачи следует, что n = 60, m = 10, поэтому

в соответствии с формулой (3.1) находим частоту появления шестерки:

 

Задача 3. Среди 1000 новорожденных оказалось 515 мальчиков.

Чему равна частота рождения мальчиков?

Решение. Обозначим событие А – рождение мальчика. Поскольку в данном случае n = 1000, m= 515, то в соответствии с формулой (3.1) находим частоту рождения мальчика:

 

Задача 4. В результате 20 выстрелов по мишени получено 15 попаданий. Какова частота попаданий?

Решение. Обозначим событие А – попадание в мишень. Так как n = 20, n = 15, то в соответствии с формулой (3.1) находим частоту попадания в мишень:

 

Задача 5. При стрельбе по мишени частота попаданий W= 0,75.

Найти число попаданий при 40 выстрелах.

Решение. Из формулы (31) следует, что m = Wn. Так как, по условию, W = 0,75, n = 40, то имеем

m = Wn= 0,75·40 = 30.

Таким образом, было получено 30 попаданий.

Задача 6. Частота нормального всхода семян W = 0,97. Из высеянных семян взошло 970. Сколько семян было высеяно?

Решение. Из формулы (3.1) следует, что

 

.

Поскольку, по условию, W=0,97, m=970 имеем:

 

Таким образом, было высеяно 1000 семян.

Задач