Действия над событиями. Соотношения между

Событиями

Справочный материал

 

Суммой, или объединением, двух событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумма двух событий А и В обозначается как А + В или АВ. Аналогично определяется и обозначается сумма n событий - событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумму n событий обозначают так:

,

или

Произведением, или пересечением, двух событий называется событие, состоящее в одновременном их появлении. Произведение двух событий А и В обозначается через АВ или АВ. Аналогично определяется и обозначается произведение в случае большего числа событий. Произведение n событий обозначают:

или

Понятия суммы и произведения событий распространяются и на

бесконечные последовательности событий.

Если событие А обязательно произойдет при появлении некоторого другого события В, то говорят, что событие В представляет собой частный случай события А, и пишут ВА, или А В (говорят также, что В влечет А).

Если В А и АВ, т.е. события А и В в данном опыте могут появиться или не появиться вместе, то их называют равносильными, или

эквивалентными, и пишут А = В.

Операции объединения и пересечения событий обладают некоторыми свойствами, аналогичными свойствам сложения и умножения чисел.

Эти операции коммутативны:

(5.1)

ассоциативны:

(5.2)

(5.3)

дистрибутивны:

(5.4)

Не все законы сложения и умножения чисел справедливы для объединения и пересечения событий. Например, для любого события А выполняются равенства:

5.5)

Если U - достоверное событие, V – невозможное событие, A - любое событие и - событие, противоположное А, то выполняются равенства:

. (5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

(5.11)

Из свойств операций пересечения и объединения следует, что для любых событий А и В имеем:

 

т.е. можно записать

или (5.12)

Формула (5.12) дает разложение любого события А на сумму двух непересекающихся (несовместных) событий.

Если то AB=B и формула (5.12) принимает вид:

(5.13)

Разностью событий А и В называется событие С, которое состоит в том, что наступает событие А и не происходит событие В. Разность событий А и В обозначается так: А-В, или А\В.

Задачи

Задача 1.

Подбрасывается игральный кубик. Обозначим события: А - "выпадение шести очков", В - "выпадение трех очков", С - "выпадение

четного числа очков", D - "выпадение числа очков, кратного трем".

Каковы соотношения между этими событиями?

Решение. Если выпало шесть очков, то тем самым выпало и четное число очков, т.е. событие А влечет событие С:.

Рассуждая аналогично, получаем

 

Задача 2. Проделывают опыт - подбрасывание игрального кубика. События: - выпадение k очков, А - выпадение четного числа очков, В - выпадение нечетного числа очков, С - выпадение числа очков, кратного трем, D - выпадение числа очков, большего трех.

Выразить события А, В, С и D через события.

Решение. Событие А наступает тогда и только тогда, когда наступает, или или Это означает, что

.

Событие В наступает тогда и только тогда, когда наступает, или или Это означает, что

.

Событие С наступает тогда и только тогда, когда наступает, или Это означает, что

.

Событие D наступает тогда и только тогда, когда наступает, или или Это означает, что

.

Задача 3. Пусть А, В, С - произвольные события. Что означают

следующие события:

?

Решение. В соответствии с определением - произведение трех событий А, В, С, которые происходят одновременно, причем -событие, противоположное событию А. Следовательно, означает, что событие А не произошло, а события В и С произошли.

Событие - означает,чтони одно из трех данных событий не произошло.

Событие означает, что хотя бы одно из трех данных событий не произошло, т.е. или А не произошло, или В не произошло, или С не произошло, или не произошли А и В вместе, или А и С вместе, или В и С вместе, или А, В, С вместе.

Событие означает, чтопроизошло ровно одно из трех событий, т.е. произошло или А, или В, или С.

Событие обозначает, что произошло не более одного из трех заданных событий, т.е. или не произошло ни одного из трех заданных событий, или произошло событие А, или произошло событие В, или произошло событие С.

Задача 4. Опыт состоит в том, что стрелок производит 3 выстрела

по мишени. Событие - стрелок попал в мишень при первомвыстреле, - стрелок попал в мишень при второмвыстреле, - стрелок попал в мишень при третьемвыстреле.

Выразить через события,, следующие события: А – произошло хотя бы одно попадание; В – произошло три попадания; С – стрелок сделал три промаха; D – стрелок сделал хотя бы один промах; Е - стрелок сделал не меньше двух попаданий; F – стрелок сделал не более одного попадания; G - попадание после первого выстрела.

Решение. Событие А наступает тогда и только тогда, когда наступает или, или.Это означает, что

 

Три попадания будет тогда и только тогда, когда попадание наступит при каждом выстреле, т.е. события,, осуществляются все вместе:

 

Три промаха будет тогда и только тогда, когда стрелок промахнется при каждом выстреле, т.е. события ,, осуществляются все вместе:

.

Один промах будет тогда и только тогда, если стрелок промахнется хотя бы при одном выстреле, т.е. осуществится либо событие, либо событие, либо событие:

.

Рассуждая аналогично, заключаем, что:

,

,

 

Задача 5. Производится опыт - извлечение детали из ящика, в котором находятся изделия трех сортов. Обозначим возможные события: А - извлечена деталь первого сорта, В - извлечена деталь второго сорта, С – извлечена деталь третьего сорта. Что представляют собой следующие события: А+В;; АС, АВ+С?

Решение. Учитываем, что события А, В, С – несовместные, т.к. при опыте извлекается только одна деталь.

Тогда А + В - это событие, которое происходит при наступлении

одного из событий А и В. Следовательно, событие А + В, в данном случае, обозначает, что при опыте извлечена деталь первого или второго сорта.

Поскольку А + С – деталь первого или третьего сорта, то противоположное этому событие означает, что при опыте извлечена деталь второго сорта.

Событие АС - невозможное событие, поскольку деталь одновременно не может быть и первого и третьего сорта.

Событие АВ + С = С (согласно выражению (5.8)) как сумма невозможного события и события С. Следовательно, событие АВ + С – обозначает, что при опыте извлечена деталь третьего сорта.

Задача 6. Доказать, что.

Решение. Для доказательства этого равенства достаточно показать, что и.

Если наступило событие, то это означает, что произошло событие, противоположное А + В, т.е. наступили одновременно и событие и событие. Или, получаем

С другой стороны, если произошло событие, то это означает, что произошло и и, т.е. не наступило ни одно из событий А и В, т.е. получаем. Итак, поскольку и, то по определению,