Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2018-01-13 | 524 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Мерой погрешности назовем некоторое неотрицательное число m(f,Q). Естественно потребовать, чтобы m(f,Q)=0, если f (x) и Q(x,cj) совпадают на общем для их задания множестве значений аргументов. Справедливо и обратное утверждение.
После того, как мера каким-либо образом задана, необходимо указать способ получения коэффициентов сj. Для поиска коэффициентов можно воспользоваться минимаксным подходом, который осуществляет равномерное приближение функций, методом наименьших модулей, методом наименьших квадратов и другими.
Метод наименьших квадратов
Чаще всего при точечной аппроксимации используют меру
(2.2)
а коэффициенты сj ищут из условия
(2.3)
Это точечная квадратичная аппроксимация.
При интегральной аппроксимации
Описанный подход к задаче аппроксимации называется методом наименьших квадратов. Условия (2.2) и (2.3) геометрически означают: из всех кривых заданного вида выбирают ту, у которой сумма площадей квадратов отклонений – наименьшая.
В математике кривую y=Q(x,cj) называют регрессией Y на X. Это означает, что у функции y=Q(x,cj) число искомых коэффициентов меньше количества узлов, в крайнем случае возможно равенство
n+1£m+1 (2.4)
Если аргументом считать y, а x – функцией, то говорят о регрессии X на Y. Отклонения в этом случае откладывают по оси X.
Регрессия Y на X
Регрессия X на Y
2.2 Нахождение коэффициентов cj при точечной аппроксимации методом наименьших квадратов
Минимальное значение K в формуле (2.2) достигается при тех сj, при которых
(2.5)
(2.6)
Здесь xi и yi – заданные числа.
Пример: построить аппроксимирующую параболу для функции
x | ||||
y | -1,2 | -0,1 | 1,3 | 1,8 |
|
Составим таблицу
Запишем систему нормальных уравнений для нашей кривой.
или
Решая систему, получаем:
или
Вычисляя K по формуле (2.9), получаем: K=0,0720. У любой параболы второй степени значение K, вычисленное по формуле (2.9), будет больше, чем 0,0720.
Неполиномиальная регрессия
Часто на практике возникает следующая задача. Имеется объект исследования (ОИ), который характеризуется набором переменных: входных () и выходной y.
Требуется найти зависимость выходной переменной от входных
(2.7)
При этом считается, что механизмы процессов, протекающих внутри объекта исследования, неизвестны, а имеются только соответствующие значения входных и выходных параметров. Такая задача носит название задачи «черного ящика».
Рассмотрим простейший случай, когда на вход действует только одна переменная x и требуется найти
(2.8)
Решение задачи моделирования в этом случае состоит из 4 этапов:
1) проведение эксперимента
2) выбор вида экспериментальной зависимости
3) нахождение параметров выбранной зависимости
4) исследование модели и выводы.
На первом этапе задаем значения входной переменной x из возможного диапазона и замеряем соответствующие значения выходной переменной y.
x | x0 | x1 | … | xm |
y | y0 | y1 | … | ym |
По экспериментальным данным строим график
Рис. 2.2 Экспериментальная кривая
На втором этапе необходимо выбрать формулу, которая могла бы описать экспериментальные данные. Во втором столбце таблицы 2.1 приведены основные типовые формулы, наиболее часто встречающиеся в задачах химии и химической технологии.
Таблица 2.1
№ | Формула | Средние точки | |
Здесь х0, y0 – первая, а хm, ym – последняя точки исходной таблицы.
Для каждой функции рассчитывается средняя точка. Все эти точки наносятся на график с экспериментальной кривой.
Выбирается та кривая, средняя точка которой находится ближе всего к экспериментальной кривой. Покажем, как решается эта часть задачи на конкретном примере.
|
Пусть x=[5 7 9 11 13];y=[2.5 4.9 8 12.1 16.9];
Тогда
xap =(5+13)/2=9
xgео =(5*13)^0.5= 8.06
xgar =2*5*13/(5+13)= 7.22
yap =(2.5+16.9)/2= 9.7
ygeo = (2.5*16.9)^0.5= 6.5
ygar = 2*2.5*16.9/(2.5+16.9)= 4.36
Средняя точка для первой кривой –(8.06, 6.5)
Средняя точка для второй кривой –(9, 6.5)
Средняя точка для третьей кривой –(9, 4.36)
Средняя точка для четвертой кривой –(8.06, 9.7)
Средняя точка для пятой кривой –(7.22, 9.7)
Средняя точка для шестой кривой –(7.22, 4.36)
Нанесем на график исходные данные (х и у) и соединим соседние точки отрезками прямых. На этот же график нанесем средние точки для каждой кривой, снабдив их соответствующими номерами.
Эту часть задачи можно решить, построив график на Scilab.
clc
xbasc()
x=[5 7 9 11 13];y=[2.5 4.9 8 12.1 16.9];
n=length(x);
xap=(x(1)+x(n))/2
xgar=2*x(1)*x(n)/(x(1)+x(n))
xgeo=(x(1)*x(n))^.5
yap=(y(1)+y(n))/2
ygar=2*y(1)*y(n)/(y(1)+y(n))
ygeo=(y(1)*y(n))^.5
t=[xgeo xap xap xgeo xgar xgar]
z=[ygeo ygeo ygar yap yap ygar]
plot(x,y)
plot(t,z,'*')
for i=1:6
xnumb(t(i),z(i),i)
end
Из графика видно, что ближе всего к экспериментальной кривой лежит точка с номером 1, поэтому таблично заданную функцию будем заменять первой кривой .
Приведем полученную кривую к линейному виду.
Кривую (как и любую другую из таблицы 2.1) приводят к линейному виду (то есть к виду ) заменой переменных. В этом случае g=lny, c0=lna, c1=b, t=lnx.
Коэффициенты (параметры) с0 и с1 находят методом наименьших квадратов, то есть добиваются того, чтобы было минимальным. Эта задача сводится к решению системы нормальных уравнений:
или
В нашем примере получается система:
Решая ее, получаем с0=- 2.294 с1= 1.995
Зная с0 и с1, находят a и b. В нашем примере
Таким образом, мы заменили таблично заданную функцию кривой .
Подставляя в полученную формулу с конкретными значениями a и b значения x0, x1, …, xm и сравнивая их с исходными данными, делают выводы об адекватности математической модели.
В нашем случае модель получилась адекватной.
x | y | |
2.5 | 2.480 | |
4.9 | 4.853 | |
8.011 | ||
12.1 | 11.956 | |
16.9 | 16.685 |
Решим эту часть задачи на scilab.
Решение.
. Покажем, как найти неизвестные коэффициенты a и b на Scilab.
clc
xbasc()
function [zr]=F(c,z)
zr=z(2)-(c(1)*z(1)^c(2))
endfunction
x=[5 7 9 11 13];
y=[2.5 4.9 8 12.1 16.9];
z=[x;y];
c=[1;1];
[d,S]=datafit(F,z,c)
t=5:.01:13;
Yt=(d(1)*t^d(2));
plot2d(x,y,-3);
plot2d(t,Yt);
S = 0.0067979
d = 0.0973802 2.0102774
В ответе d(1)= 0.0973802 это a, d(2)= 2.0102774 это b.
Таким образом, уравнение кривой, полученной на scilab,
|
x | y | |
2.5 | 2.464 | |
4.9 | 4.846 | |
8.032 | ||
12.1 | 12.022 | |
16.9 | 16.819 |
Тема 3. Интерполяция
Интерполяция – частный случай аппроксимации, когда аппроксимирующая кривая проходит через все точки таблицы, то есть
(3.1)
Задача интерполяции ставится так:
Функция y= f (x) задана в виде таблицы
x | x0 | x1 | … | xm |
y | y0 | y1 | … | ym |
Требуется вычислить значение функции в точке x, не совпадающей ни с одним из узлов таблицы. Если эта точка лежит между узлами, то такая задача называется интерполяцией. Если точка x лежит за пределами таблицы, то говорят о задаче экстраполяции.
Очевидно, что коэффициенты сj можно найти методом наименьших квадратов, положив n=m.
Рассмотрим другие способы решения этой задачи.
Интерполяция по Лагранжу
Построим полином
(3.2)
Выражение (3.2) – алгебраический полином степени n. Покажем, что он проходит через все точки таблицы при n=2 и n=3.
; ; ;
Выражение (3.2) – интерполяционный полином Лагранжа, проходящий через все точки таблицы. Теперь, чтобы найти значение функции в некоторой точке x*, которой нет в таблице, достаточно подставить эту точку вместо x в формулу (3.2) и считать, что
y*=Ln(x*) (3.3)
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!