Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2018-01-13 | 145 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
ОДУ порядка n называется уравнение вида
(4.1)
где n - порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Примеры дифференциальных уравнений:
(4.2)
(4.3)
Здесь y (x) – неизвестная функция.
Уравнение (4.2) имеет порядок 2, уравнение (4.3) – порядок 1.
Если уравнение линейно по , то оно называется линейным. (4.2) – линейное уравнение, (4.3) – нелинейное.
Запишем дифференциальное уравнение n порядка в явном виде:
(4.4)
Уравнение в виде (4.1) – уравнение в неявной форме.
Под интегрированием уравнения (4.1) понимают нахождение функции y (x), которая удовлетворяет этому уравнению. y (x) называется решением дифференциального уравнения. Общее решение ОДУ n -го порядка имеет вид:
(4.5)
где - произвольные константы.
При любом наборе конкретных констант получаются частные решения.
Задача Коши есть задача о нахождении частного решения уравнения (4.4), удовлетворяющего начальным условиям
(4.6)
Здесь - некоторые заданные числа.
Графическое изображение частного решения называют интегральной кривой. Общее решение дифференциального уравнения n -го порядка определяет n -параметрическое семейство интегральных кривых.
Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка
Рассмотрим два численных метода решения ОДУ первого порядка. Пусть дифференциальное уравнение первого порядка задано в виде
(4.7)
Задача (4.7) – задача Коши для ОДУ первого порядка.
Пример:
Общее решение этого уравнения
Решением этой задачи Коши будет единственная функция
Так решались ДУ в курсе высшей математики.
Метод Эйлера
Перепишем уравнение (4.7) в виде
Обозначим . Тогда
(4.8)
Формула (4.8) – формула метода Эйлера решения ОДУ первого порядка.
|
Y *
*
X
Результатом численного решения дифференциального уравнения является таблица
X | … | ||||
Y | … |
где заданы, (шаг h i задается и может быть как переменным, так и постоянным, а y i (i=1, 2, …, n) вычисляются по соответствующим формулам (например, по формуле (4.8)).
Пример:
h=0.2
x | |||
0.2 | 0.021403 | 0.0214 | |
0.4 | 0.04 | 0.091825 | |
0.6 | 0.128 | 0.222119 |
Погрешность метода Эйлера – o(h).
Метод Рунге-Кутта решения ОДУ первого порядка
Погрешность метода Рунге-Кутта – o(h4).
Пример:
h=0.2
Решение систем дифференциальных уравнений первого порядка
Запишем систему дифференциальных уравнений первого порядка:
(4.10)
Здесь x – независимая переменная, f1, f2, …, fn – заданные функции.
Решением (4.10) называют совокупность функций , которые после подстановки в систему уравнений (4.10) обращают их в тождество.
Задача Коши для системы (4.10) ставится так:
Найти такие, что , - некоторые заданные числа.
Метод Эйлера для решения задачи Коши заключается в вычислении по формулам:
(4.11)
Пример:
Формулы для вычислений будут такими:
Здесь
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!