История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2018-01-29 | 187 |
5.00
из
|
Заказать работу |
В этом параграфе мы познакомимся с одной очень типичной схемой непрерывной марковской цепи – так называемой схемой гибели и размножения, которая понадобится нам для дальнейших исследований. Происхождение этого термина ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описываются процессы изменения численности особей в биологических популяциях.
Марковская непрерывная цепь называется процессом гибели и размножения, если все состояния этой цепи можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний связано прямой и
обратной связями с каждым из соседних состояний, а крайние (или крайнее) состояния – только с одним соседним состоянием. Граф состояний такой цепи имеет вид, представленный на рис. 4. Очевидно, что такого рода процесс может описываться как конечной, так и бесконечной цепями Маркова.
Рис. 4
Схема гибели и размножения очень часто встречается, как мы увидим ниже, в самых разнообразных практических задачах теории массового обслуживания. Вследствие этого имеет смысл заранее рассмотреть эту схему в самом общем виде и решить соответствующую систему уравнений Колмогорова для вероятностей равновесных состояний с тем, чтобы в дальнейшем, встречаясь с конкретными процессами, протекающими по такой же схеме, не решать задачу каждый раз заново, а пользоваться уже готовым решением.
Запишем уравнения Колмогорова для вероятностей равновесных состояний. Для нулевого состояния, очевидно, имеем
. (1.5.1)
Для следующего состояния суммы слагаемых, соответствующих входящим и выходящим стрелкам на графе, равны между собой:
,
но в силу соотношения (1.5.1) мы можем сократить здесь справа и слева равные друг другу слагаемые и и тогда, очевидно, получим . Действуя далее аналогичным образом, легко можно найти последовательность формул
;
и так далее, то есть для схемы гибели и размножения слагаемые, соответствующие стоящим друг над другом стрелкам, равны между собой:
, k = 1, 2, … (1.5.2)
Итак, мы нашли, что предельные вероятности p 0, p 1 … в любой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям (1.5.2), а также нормировочному условию .
Будем решать полученную систему алгебраических уравнений следующим образом. Из первого уравнения системы выразим p 1 через p 0. Это, очевидно, будет
,
и тогда с учетом последнего соотношения из (1.5.2) получим
. (1.5.3)
Точно так же из третьего уравнения с учетом (1.5.3) следует
и так далее. Теперь в общем виде имеем
, k = 1, 2, … (1.5.4)
Легко видеть, что эта формула справедлива для всех значений индекса k, начиная с 1.
Обратим внимание на структуру этого соотношения. В его числителе стоит произведение всех интенсивностей (плотностей вероятностей переходов) , стоящих у стрелок, направленных слева направо, с начала и вплоть до той, которая ведет в k -е состояние системы. В знаменателе – произведение всех интенсивностей , стоящих у стрелок, идущих справа налево, опять-таки с начала и вплоть до той стрелки, которая исходит из k -го состояния на графе состояний.
В случае конечной цепи Маркова для последнего из состояний цепи в числителе будет стоять произведение всех интенсивностей , стоящих у всех стрелок, идущих слева направо, а в знаменателе – произведение всех интенсивностей , стоящих у всех стрелок, идущих справа налево.
Итак, сейчас у нас искомые вероятности стационарных состояний p 0, p 1, p 2, … выражены через вероятность p 0 одного из них. Подставим теперь все эти выражения в нормировочное условие и получим
,
откуда сразу же следует
. (1.5.5)
Очевидно, что все остальные вероятности p 1, p 2, p 3, … выражаются через p 0, согласно соотношению (1.5.4), следующим образом:
; ;
Как видим, вероятности предельных состояний найдены, и таким образом задача гибели и размножения в общем виде решена.
* Напомним в этой связи, что полная сумма вероятностей всех событий, исходящих из какой-либо вершины графа, всегда должна быть равной единице, поскольку система обязательно куда-нибудь должна перейти.
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!