Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2018-01-05 | 500 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Полагая, что понятия плоскости и трехмерного пространства известны читателю из школьного курса геометрии, обобщим, а в некоторых случаях уточним, начальные сведения о векторах.
Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой A и конечной точкой B, который можно перемещать параллельно самому себе. Обозначение: или .
Длиной (модулем, нормой) вектора называется число, равное длине отрезка AB, изображающего вектор.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, и компланарными, если их количество равно трем и они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях.
Если точки начала и конца вектора совпадают, например, то такой вектор называется нулевым вектором и обозначается: . Длина нулевого вектора равна нулю, т.е. . Поскольку направление нулевого вектора не определено, то его считают коллинеарным любому вектору.
Произведением вектора на число λ называется вектор: имеющий длину и направление, совпадающее с направлением вектора если λ > 0, и противоположное ему, если λ < 0.
Противоположным вектором вектору называется произведение этого вектора на число (− 1), т.е. .
Перенесем вектор параллельно самому себе таким образом, чтобы его начальная точка совпала с началом координат. Тогда можно ввести понятие координат вектора.
Координатами вектора называются координаты его конечной точки, если его начальная точка помещена в начало координат. При этом координатами вектора на плоскости являются числа , где M (x, y), а в трехмерном пространстве – соответственно – числа , где M (x, y, z).
В соответствии с приведенными определениями не трудно показать, что суммой векторов и будет вектор с координатами: , произведением вектора на число l будет вектор с координатами: .
|
Из тех же определений следует, что длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат:
или .
соответственно, на плоскости и в трехмерном пространстве.
Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними, т.е.: . Скалярное произведение векторов можно выразить и через координаты этих векторов:
или .
соответственно, на плоскости и в трехмерном пространстве.
Если , то очевидно угол между векторами и будет равен нулю, следовательно:
,
т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
Очевидно, что косинус угла между векторами будет определяться выражением:
3.2. N -мерный вектор и векторное пространство
Определение. N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел: а каждое число хi называется i -ой компонентой (координатой) вектора.
По аналогии с векторами на плоскости (двухмерными векторами) и в трехмерном пространстве (трехмерными векторами) можно сформулировать следующие правила, которые следует рассматривать как аксиомы.
Два n -мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. , если для всех .
Суммой двух n -мерных векторов называется n -мерный вектор, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. если то для всех .
Произведением n-мерного вектора на действительное число называется n -мерный вектор, компоненты которого равны произведению этого числа на соответствующие компоненты этого вектора, т.е. если , то для всех .
Операции над векторами, установленные этими правилами, принято называть линейными операциями. Линейные операции над векторами должны удовлетворять целому ряду свойств, рассматриваемых как аксиомы.
|
1. - коммутативное свойство суммы.
2. - ассоциативное свойство суммы.
3. - ассоциативное свойство относительно числового множителя.
4. - дистрибутивное свойство относительно суммы векторов.
5. - дистрибутивное свойство относительно суммы числовых множителей.
6. Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора , в этом – особая роль нулевого вектора.
7. Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что .
8. Для любого вектора справедливо , в этом – особая роль числового множителя 1.
Определение. Векторным (линейным) пространством называется м ножество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие приведенным восьми аксиомам,
ПРИМЕР: Для заданной матрицы А размера m x n строки этой матрицы можно рассматривать как множество n -мерных векторов.
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!