Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП

Производной от функции комплексной переменной w = f (z) в точке z ₀ называется предел:

,

где , и произвольным образом.

Функцию w = f (z), дифференцируемую в точке z ₀ и некоторой ее окрестности, называют аналитической,или регулярной функцией в точке z ₀.

Точки, в которых ФКП не является аналитической, называют особыми точками этой функции.

Для того, чтобы функция f (z) = u (x,y) + iv (x,y) была аналитической в области D необходимо и достаточно, чтобы частные производные 1-го порядка функций u (x, y) и v (x, y) были непрерывны в этой области и выполнялись бы условия:

, (10)

называемые условиями Эйлера-Даламбера, или условиями Коши-Римана.

Пример 5. Проверить аналитичность ФКП .

Þ u = x ² – y ² – 2 x; v = 2xy + 2y (см. пример 1). Проверим выполнение условий Коши-Римана:

.

Условия (10) не выполняются, следовательно, эта функция не является аналитической.

Пример 6. Проверить аналитичность ФКП .

Выделим действительную и мнимую части функции:

.

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

.

Условия выполняются во всех точках, кроме особой точки (0,0), в которой функции и u (x, y) и v (x, y) не определены. Следовательно, функция аналитическая при .

 

Если функция w = f (z) аналитическая в области D, то ее производную можно найти, используя правила дифференцирования, аналогичные правилам дифференцирования функции одной действительной переменной.

Пример 7. Вычислить значение производной функции в точке

z ₀ = – 1+ i.

Функция – аналитическая, а значит, дифференцируемая во всей своей области определения (см. пример 3). Ее производная:

.

Вычислим значение производной в точке z ₀ = – 1+ i:

Следовательно, .

Задача 1. Даны уравнение , комплексное число и натуральное число n = 6. Требуется:

1) найти корни уравнения z _1, z ₂ на множестве комплексных чисел;

2) найти комплексное число в алгебраической форме;

3) получить тригонометрическую форму числа и вычислить с ее помощью . Ответ записать в тригонометрической и в алгебраической формах.

Решение задачи 1.

1) Найдем корни уравнения на множестве комплексных чисел:

(здесь использовано: ).

 

2) Чтобы найти комплексное число , вычислим сначала :

( – это число, сопряженное числу , т.е. ).

Затем находим числитель и знаменатель .

Теперь вычисляем w, используя домножение числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю:

– получили число w в алгебраической форме.

 

3) Комплексное число задано в алгебраической форме , где x = 1, y = . Получим тригонометрическую форму этого числа

, используя формулы (13) и (14). Вычислим модуль комплексного числа и его аргумент:

Таким образом, – тригонометрическая форма числа z ₀.

Для вычисления используем формулу (15) возведения комплексного числа в натуральную степень:

.

Здесь аргумент . Выбираем главное значение аргумента, принадлежащее промежутку , используя формулу (11): при n = – 1 получаем . Тригонометрическая форма комплексного числа для имеет вид:

.

Подставив значения cos0 = 1, sin0 = 0, получим алгебраическую форму этого числа:

Ответы: 1) 2) ; 3) ;

= 64.

Задача 2. Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z ₀ = – 1 + 3 i. Требуется:

1) представить функцию в виде w = u (x,y) + iv (x,y), выделив ее действительную и мнимую части;

2) проверить, является ли функция w аналитической;

3) в случае аналитичности функции w найти ее производную w ′ в точке z ₀.

Решение.

1) Выделим действительную и мнимую части функции:

.

2) Чтобы установить аналитичность функции w, проверим выполнение условий Коши-Римана (10):

Получили: . Условия Коши-Римана выполняются во всех точках, кроме особой точки z = 2 i, в которой функции x = 0, y = 2 и функции u (x, y) и v (x, y) не определены. Следовательно, функция – аналитическая при .

3) Найдем производную функции:

.

Вычислим значение производной функции в точке z ₀ = – 1 + 3 i.

Ответы:

1) ;

2 ) функция аналитическая при ;

3) .

 

 

Рекомендуемая литература

 

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс: Рольф, 2002. – 256 с.

3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебник для втузов. В 2 т. Т. 1 / Н. С. Пискунов.– М.: Интеграл-Пресс, 2001.– 456 с.

4. Шипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Шипачев.– М.: Высш. шк., 2007.– 479 с.

5. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч.1 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Оникс: Мир и образование, 2005.– 304 с.

6. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч.2 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Оникс: Мир и образование, 2005.– 416 с.

7. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Шипачев.– М.: Высш. шк., 2001.– 304 с.

8. Кручкович Г.И. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики: учебное пособие для втузов. / Г.И. Кручкович [и др.], под ред. Г.И. Кручковича. – М.: Высш. шк., 1970.– 512 с.