Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2018-01-05 | 371 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Комплексным числом называется выражение вида
z = x + iy, (10)
где х, у – действительные числа, а i – мнимая единица, т.е. число, для которого выполнено равенство .
Если х = 0, то комплексное число z = 0 + iy называется чисто мнимым.
Если у = 0, то комплексное число z = x + i 0 = х является действительным, в частности, если х = у = 0, то z = 0.
На множестве комплексных чисел алгебраическое уравнение n -й степени вида , где ak – числа, ,имеет ровно n корней.
Пример1. Решим уравнение: х 2 + 9 = 0.
.
Следовательно, уравнение имеет 2 корня: .
На координатной плоскости Оху комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой М (х; у) или радиус-вектором этой точки (рис. 12), где х = Re z – действительная часть числа z, у = Im z – мнимая часть числа.
Число называется сопряженным комплексному числу . Геометрически точки z и симметричны относительно оси Ох (рис. 12).
Модулем комплексного числа называется действительное неотрицательное число . Геометрически модуль комплексного числа – это модуль вектора (рис. 12).
Комплексное число можно задать либо парой действительных чисел (декартовы координаты точки (х; у)), либо его модулем и величиной угла φ между вектором и положительным направлением оси Ох (полярные координаты точки (r; φ)). Величина угла φ называется аргументом комплексного числа.
Аргумент комплексного числа определен неоднозначно, а с точностью до слагаемого . Значение аргумента, заключенное в промежутке , называется главным значением аргумента и обозначается arg z, тогда можно записать: (11)
Для комплексного числа z = 0 аргумент не определен, его модуль r = 0.
Запись комплексного числа в виде (10) называют алгебраической формой комплексного числа.
Если использовать формулы связи между декартовыми и полярными координатами , то можно записать тригонометрическую форму комплексного числа: , (12)
где , , . (13)
Для определения главного значения аргумента можно использовать формулы:
(14)
Пример 2. Получим тригонометрическую форму комплексного числа
z = – 2 – 2 i,
используя формулы (13) и (14).
,
,
следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа z для имеет вид:
.
Действия над комплексными числами
Равенство двух комплексных чисел z 1= x 1 + iy 1 и z 2 = x 2 + iy 2 означает равенство их действительных и мнимых частей: .
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме определяются следующим образом. Если z 1= x 1 + iy 1,
z 2 = x 2 + iy 2, то
1) z 1 + z 2 = (x 1 + x 2) + i (y 1 + y 2);
2) z 1 – z 2 = (x 1 – x 2) + i (y 1 – y 2);
3) z 1 z 2 = (x 1 x 2 – y 1 y 2) + i (x 1 y 2 + х 2 y 1);
4) .
Пример 3. Даны числа z 1= 4 – i и z 2 = 1 + 3 i. Вычислить .
Найдем , затем выполняем деление при помощи домножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю:
(при вычислениях учтено, что ).
Умножение, деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня из комплексных чисел в тригонометрической форме определяются следующим образом:
если , , то
1) ;
2) ;
если , , то
3) ; (15)
4) .
В ответ записываются главные значения аргумента полученного результата, заключенные в промежутке .
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!