Правила вычисления пределов.

Если и , то

;

;

, при ;

, .

 

Первый замечательный предел.

 

.

Следствия: ,

,

,

 

Второй замечательный предел.

.

 

Основные неопределенности.

, , , , .

 

Основные эквивалентные бесконечно малые величины.

 

, , , , при .

 

ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Правила дифференцирования.

Если , – дифференцируемые функции,

то

1.

2.

3.

 

Формулы дифференцирования:

 

,

,

,

 

Следствие: ,

 

Формула Лапиталя.

 

Дифференциал функции.

 

Применение дифференциального исчисления в исследовании функции

1) Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) на отрезке , то .

2) Если дважды дифференцируемая функция выпукла (вогнута) на отрезке , то .

Замечание: 1. Частные производные функции нескольких переменных находятся по тем же правилам и формулам, что и для функции одной переменной, полагая, что все переменные, кроме той, по которой производится дифференцирование, являются константами.

2. Градиент функции определяется по формуле:

 

ГЛАВА X. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Неопределенный интеграл.

Таблица интегралов.

 

 

 

Некоторые тригонометрические формулы, применяемые при интегрировании:

 

, , ,

 

Разложение дроби на простейшие при интегрировании рациональных дробей:

 

, т.е. дробь правильная

 

Определенный интеграл.

§ 10.3. Двойной интеграл.

 

 

 

 

 

ГЛАВА XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Уравнение, содержащее кроме неизвестной функции и её производные называется дифференциальным.

 

Например: – дифференциальное уравнение 1 ^го порядка.

– начальное условие.

Функция является частным решением дифференциального уравнения 1 ^го порядка, если выполняется:

 

Простейшими дифференциальными уравнениями первого порядка являются уравнения с разделяющимися переменными:

, где

и

Эти уравнения решаются путем деления на и последующего интегрирования уравнения.

 

– дифференциальное уравнение 2 ^го порядка,

; – начальные условия.

Частным случаем дифференциальных уравнений второго порядка являются линейные

неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:

Решение уравнений ищется в виде:

, где – общее решение однородного уравнения, соответствующего заданному,

– частное решение исходного уравнения.

строится в зависимости от корней характеристического уравнения:

Если , то

При ,

При ,

 

ГЛАВА XII. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.

Числовые ряды.

Выражение вида:

, где

называется числовым рядом. Если , то ряд называется знакопостоянными.

Сумма первых членов ряда называется частичной суммой: .

Ряд называется сходящимся, если существует , в противном случае – расходящимся. Ряды чаще всего исследуются на сходимость с помощью признаков сходимости.

Для знакопостоянных рядов наиболее применимы следующие:

1. необходимый признак сходимости ряда:

если , то ряд расходится, при – ответ дать нельзя;

2. признак Даламбера:

3. признаки сравнения;

4. признак Коши: Если сходится, то и ряд сходится; если интеграл расходится, то и ряд расходится. Функция строится по формуле – общего члена ряда:

, , …, , …

Замечание: 1. Ряд вида называется гармоническим. При ряд сходится, при – расходится.

2. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии сходится при , и расходится, если .

 

Функциональные ряды.

Ряд Тейлора для функции :