Вопрос. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной «яме» с бесконечно высокими «стенками».

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице, находящейся в потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками». Такая яма описывается потенциальной энергией U (x) следующего вида:

где l – ширина ямы, а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 5.1).

х

Рис. 5.1

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде:

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы ямы, поэтому вероятность ее обнаружения за пределами ямы равна нулю. На границах ямы волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в таком случае имеют вид:

В пределах ямы () уравнение Шредингера (5.2.1) сводится к уравнению

Общее решение дифференциального уравнения:

.

А т.к. по (5.2.2), то B = 0. Тогда

уравнение выполняется только при, где n – целые числа, т.е. необходимо, чтобы

Из выражений (5.2.4) и (5.2.6) следует, что энергия частицы зависит от n:

где n = 1, 2, 3….

Т.е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, удовлетворяется только при собственных значениях E_n, зависящих от целого числа n. Следовательно, энергия E_n частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантовые значения энергии E_n называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни – главным квантовым числом.

Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими стенками может находиться только на определенном энергетическом уровне E_n, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии п.

Подставив k в (5.2.5), из (5.2.6) найдем собственные функции:

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки (4.3.3), которое для данного случая запишется в виде

.

В результате интегрирования получим, а собственные функции будут иметь вид:

Рис. 5.2

Графики собственных функций (5.2.8), соответствующие уровням энергии (5.2.7) при п = 1, 2, 3, приведены на рис. 5.2, а. На рис. 5.2, б изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы: для п = 1, 2, 3…. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с п = 2 частица не может находиться в центре ямы, в то время как одинаково может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения 5.2.7 следует, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен:

Например, для электрона при размерах ямы (свободные электроны в металле), т.е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр можно считать практически непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с размерами стенки (), то для электрона, т.е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр). Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками приводит к квантовым значениям энергии и координат, в то время как классическая механика на энергию этой частицы лишних ограничений не накладывает.

Кроме того, квантово-механическое рассмотрение этой задачи приводит к выводу, что частица в потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная. Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Δ x частицы в яме шириной l равна: Δ x = l. Тогда согласно соотношению неопределенностей, импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса:

Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия. Все остальные уровни имеют энергию, превышающую это значение.

Из функций (5.2.1) и (5.2.7) следует, что при больших квантовых числах, т.е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше п. Если п очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней,и характерная особенность квантовых процессов – дискретность – сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора, согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

Более общая трактовка принципа соответствия: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применимости, причем в определенных предельных условиях новая теория переходит в старую.

24 Вопрос. Развитие теории атома (модели атома Томсона и Резерфорда). Линейчатый спектр атома водорода. Формула Бальмера.