Центр параллельных сил. Частные случаи приведения сил для системы параллельных сил.

Поскольку силу можно переносить по линии ее действия, то точка приложения силы (равнодействующей) по существу не определена. Если все силы повернуть на один и тот же угол и вновь провести сложение сил, то получаем другое направление линии действия равнодействующей. Точка пересечения называется центром параллельных сил. Центр параллельных сил – точка приложения равнодействующей, не изменяющей своего положенияпри одновременном повороте всех сил на один и тот же угол.Для аналитического определения положения центра параллельных сил применим теорему Вариньона. или . Тогда предыдущее равенство примет вид: или после перестановки скалярных множителей в векторных произведениях .Из равенства векторных произведений и идентичности второго сомножителя следует: , откуда.Проекции полученного соотношения для радиуса-вектора центра параллельных сил на координатные оси дают аналитические формулы для определения координат центра параллельных сил: .С учетом принятых гипотез при определении положения центра тяжести можно использовать формулы для определения положения центра параллельных сил:

, гдеDG – силы тяжести элементарных объемов.

47 Центр тяжести. Если размеры тела малы по сравнению с радиусом Земли, то можно считать, что силы тяжести всех частиц тела образуют систему параллельных сил. Их равнодействующая называется силой тяжести, а центр этих параллельных сил – центром тяжести тела. При определении положения центра тяжести тела используются гипотезы: 1. Линии действия сил тяготения, приложенные к отдельным частицам тела, параллельны (рассматриваемые тела имеют размеры много меньшие радиуса Земли и углом между линиями действия сил тяготения частиц тел можно пренебречь); 2. Ускорение свободного падения g = const (высота рассматриваемых тел много меньше радиуса Земли и изменением величины ускорения свободного падения по высоте тела можно пренебречь), 3. Рассматриваемые тела – однородные (нет включений материалов с другой плотностью) и сплошные (нет пустот).

48 Способы определения положения центра тяжести сил. Определение положения центра тяжести однородных тел – Выделим элементарный объем dV = dxdydz. Сила тяжести такого объема равна dG = gdV, где g =const - объемный вес. Замена суммирования дискретных сил тяжести DG_i непрерывным распределением приводит к интегральным выражениям по объему тела для определения координат центров тяжести, например, координаты x_C:

Для всех трех координат получаются подобные выражения:

В частном случае плоского тела (постоянной толщины H = const), dV = Hdxdy = HdS:

Для линейного тела (постоянного поперечного сечения S = const, ось – плоская кривая), dV = SdL.

Определение положения центра тяжести простейших плоских тел:

Прямоугольник: dS=bdy

Круговой сектор:

Треугольник:

Методы определения положения центра тяжести сложных фигур:

1.Метод разбиения – сложная фигура разбивается на совокупность простых фигур, для которых известны положения центра тяжести или легко определяются:

2. Метод отрицательных площадей – так же, как и в методе разбиения, сложная фигура разбивается на совокупность простых фигур, для которых известны положения центра тяжести или легко определяются, но при наличии отверстий или

пустот удобно их представление в виде “отрицательных” областей. Например, фигура вместо разбиения на 4 обычных прямоугольника, может быть представлена как совокупность двух прямоугольников, один из которых имеет отрицательную площадь:

3. Метод симметрии – при наличии у фигуры оси или плоскости симметрии центр тяжести лежит на этой оси или в этой плоскости. С учетом этого свойства уменьшается количество координат центра тяжести, подлежащих определению. Например, определение положения центра тяжести кругового сектора.

4. Метод интегрирования – при наличии у фигуры достаточно простого контура (окружность, парабола и т.п.), выбирается элементарная площадка или полоска и выполняется аналитическое интегрирование. Например, определение положения центра тяжести треугольника или кругового сектора.

5. Метод подвешивания – экспериментальный метод, основанный на том, что при подвешивании тела или фигуры за какую-либо произвольную точку центр тяжести находится на одной вертикали с точкой подвеса. Для определения положения центра тяжести плоской фигуры достаточно ее подвесить поочередно за две любые точки и прочертить соответствующие вертикали, например, с помощью отвеса, и точка пересечений этих прямых соответствует положению центра тяжести фигуры.