История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-12-21 | 710 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
«Теория вероятностей»
Глава 1. Случайные события.
Пример 1.1. Производится три независимых выстрела с вероятностью попадания 0,4 в каждом. Найти вероятность того, что будет хотя бы 2 попадания.
Решение. Искомая вероятность .
Воспользуемся формулой Бернулли:
Пример 1.2. Производится 4 независимых выстрела по одной цели с различных расстояний. Вероятности попаданий в этих выстрелах равны соответственно: . Найти вероятность того, что: не будет попаданий; будет ровно 3 попадания.
Решение. Составляем производящую функцию
Тогда искомые вероятности: 4, 4.
Пример 1.3. Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий.
Решение. Здесь , , .
Следовательно:
Пример 1.4. Три предприятия могут обратиться за кредитами в три банка. Каждое предприятие выбирает себе банк случайным образом и независимо от других. Клиент, обратившийся в банк, получает кредит с вероятностью . Найти вероятность того, что ровно в двух банках из трех кредит будет выдан.
Решение. Пусть событие означает, что ровно в двух банках из трех выдан кредит. Имеем гипотезы:
– все три банка имели посетителей;
– все предприятия обратились в один банк;
– предприятия обратились к двум банкам, а третий остался не востребованным.
Тогда
По формуле полной вероятности получаем:
Пример 1.5. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Отказ любого элемента приводит к отказу всего устройства. Надежность каждого элемента равна Р. Купили еще три аналогичных элемента. Что лучше: продублировать каждый элемент или всю схему устройства в целом?
Решение. Два варианта возможного дублирования представлены на рис.1.1.
|
1) 2)
Рис. 1.1. Варианты дублирования элементов устройства
Применяя формулы сложения и умножения вероятностей рассчитаем надежность этих схем.
Надежнее вторая схема.
Пример 1.6. Два стрелка поочередно стреляют по мишени до первого попадания. Вероятность попадания первого стрелка равна , а второго – . Найти вероятность того, что выиграет (попадет) первый стрелок.
Решение. Первый стрелок выигрывает соревнование (попадает) при первом выстреле с вероятностью , при втором выстреле – (то есть здесь по одному промаху у первого и второго стрелка), при третьем выстреле – с вероятностью (по два промаха у каждого), при n –м выстреле – с вероятностью .
Так как положительным исходом для первого игрока является любой из выше перечисленных исходов, то искомая вероятность будет равна сумме частных вероятностей
.
С использованием формулы суммы геометрической прогрессии получаем
Пример 1.7. Числа натурального ряда перемешаны и расположены в случайном порядке. Какова вероятность того, что хотя бы одно число окажется на своём месте (т.е. будет равно номеру своего места)? Найти предел этой вероятности при возрастании n.
Решение. Пусть – событие, состоящее в том, что –е число оказалось на своём месте.
Тогда с использованием формулы вероятности суммы событий получим
.
Из условия задачи можно заключить, что
Тогда
Окончательно получаем
.
Пример 1.8. Кусок проволоки длиной 20 см был согнут в точке, выбранной наугад (точка сгиба равномерно распределена). После этого, перегнув еще в двух местах, сделали прямоугольную рамку. Найти вероятность того, что площадь полученной рамки не превосходит 21 кв. см.
Решение. Пусть x – есть расстояние от точки первого сгиба до ближайшего конца, тогда площадь прямоугольника S = xЧ (10 – x).
Из условия xЧ (10 – x) Ј21 находим, что либо x О(0; 3), либо x О(7; 10). Поэтому нужная рамка получится, если точка сгиба попадает в один из промежутков (0; 3), (7; 13), (17; 20) по длине стержня.
|
Искомая вероятность определится отношением благоприятствующей событию длины проволоки (m = (3 – 0) + (13 – 7) + (20 – 17) = 12) к общей длине (n = 20):
P = m/n = 0.6.
Пример 1.9. Из последовательности чисел 1, 2,..., N отобраны n чисел х1 < х2 <...< хn. Найти вероятность того, что хm = M.
Решение. способами можно взять числа х 1, x 2,..., xm –1 и способами – остальные xi.
Поэтому искомая вероятность
р =
Пример 1.10. В первом ящике находится N1 деталей первого сорта и N2 деталей второго сорта, во втором ящике, соответственно, M1 и M2. Из первого ящика во второй переложено К деталей. Затем из второго ящика взяли одну деталь. Определить вероятность того, что она первого сорта.
Решение. Имеем две гипотезы:
H 1 – взятая деталь принадлежит к группе из К деталей, переложенных из первого ящика во второй;
H 2 – взятая деталь первоначально находилась во втором ящике.
Тогда
Р (H 1) = ; P (H 2) = .
Обозначим через А – событие, состоящее в том, что взятая деталь окажется первого сорта.
С учетом гипотез, вероятность этого события может быть определена по формуле полной вероятности:
.
Условные вероятности взятия детали первого сорта при соответствующих гипотезах будут равны:
.
Искомая вероятность
Пример 1.11. Вероятность того, что посетитель страховой компании заключит с ней какой–либо договор, равна 0,3. Сколько посетителей надо обслужить, чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0,9, можно было утверждать, что будет заключен хотя бы один договор?
Решение. Обозначим событие Ai – i –й посетитель заключит договор с компанией. По условию задачи P (A i) = 0,3. Тогда .
Вероятность того, что ни один из n посетителей не заключит договор равна P 0 ,n = = (0,7) n.
Вероятность того, что хотя бы один посетитель заключит договор
R 1, n = 1 – P 0, n = 1 – (0,7) n.
По условию задачи эта вероятность должна быть не менее 0,9. Получаем соотношение: 1 – (0,7) n і 0,9. Решая это неравенство, определяем n:
(0,7) n Ј 1 – 0,9 = 0,1; n ln(0,7) Ј ln(0,1) Ю n і = 6,4.
Окончательно получаем, что n = 7.
Пример 1.12. На отрезке длины L наудачу выбираются 2 точки M 1 и M 2. Определить вероятность того, что из полученных отрезков можно построить треугольник.
Решение. Пусть длины образованных отрезков равны x, y, L – x – y.
Эти отрезки должны удовлетворять неравенствам треугольника, т.е. сумма двух сторон больше третьей:
Сводим задачу к геометрической вероятности (рис.1.2):
|
Рис. 1.2. Геометрическое представление задачи
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!