История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-12-22 | 179 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. А + В = В + А; 2. А + (В + С) = (А + В) + С;
3. А + 0 = А (0 – нулевая матрица); 4. А – В = А + (– 1) ∙ В;
5. А + (– А) = 0; 6. 1 ∙ А = А;
7. (α + β) А = α А + β В; 8. α(А + В) = α А + α В;
9. α(β А) = (αβ) А, где А, В, С – матрицы, α и β – скаляры (любые действительные числа)
● Под элементарными преобразованиями матриц понимают следующие действия:
1) умножение всех элементов какой-либо строки (или столбца) на действительное число λ ¹ 0;
2) прибавление к элементам какой-либо строки (или столбца) величин, пропорциональных элементам другой строки (или столбца) (замена элементов строки (столбца) линейными комбинациями соответствующих элементов других строк (столбцов);
3) перестановку местами двух строк (или столбцов).
Матрицы называются эквивалентными, если одна может быть получена из другой с помощью элементарных преобразований.
● Если в прямоугольной матрице , размера n ´ m выделим k столбцов и k строк, причем k не больше наименьшего из чисел m и n и составим определитель из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, то полученные указанным способом определители называются минорами матрицы А. Наивысший возможный порядок минора прямоугольной матрицы размера n ´ m равен наименьшему из чисел m и n. Для квадратной матрицы размера n наибольший возможный порядок минора равен n.
● Определение. Матрица имеет ранг r, если среди ее миноров существует хотя бы один, отличный от нуля, минор порядка r, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю или не существуют.
Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.
Пример. Для квадратной матрицы порядка n = 3 ее ранг r £ 3. Поскольку но, например, составленный из элементов этой матрицы минор Размерность этого минора равна 2, следовательно, ранг данной матрицы r = 2. Однако этот способ определения ранга матрицы не всегда прост. Удобнее привести данную матрицу А к так называемой ступенчатой форме, что возможно с помощью элементарных преобразований. Матрица ступенчатой формы такова, что все «диагональные» элементы , где отличны от нуля, а все элементы, расположенные под этой диагональю, равны нулю:
|
Число r элементов стоящих на главной диагонали, не зависит от способа приведения прямоугольной матрицы А к виду ступенчатой матрицы Аr и называется рангом матрицы А.
Следствие. Ранги двух эквивалентных матриц равны.
● Операция над матрицей при которой ее строки становятся столбцами с теми же номерами, а столбцы – строками, называется транспонированием. Обозначается транспонированная матрица
Операция транспонирования обладает следующими свойствами:
1. 2.
3. 4.
● Произведение матрицы А на матрицу В определяется только в случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
В этом случае матрицы А и В называются согласованными.
Замечание. Из того что матрица А согласована с В, а значит существует матрица АВ, не следует что матрицу В можно умножить на А, т. к. из согласованности А с В не следует согласованность В с А. Следовательно,
в общем случае АВ ¹ ВА. Однако АЕ = ЕА.
Действие умножения матриц выполняется по принципу «строка на столбец», что схематично представлено на рис. 24.
Произведением матрицы на матрицу называется такая матрица элементы которой равны сумме произведений элементов i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В:
Примеры. Найти АВ и ВА, если:
1) 2)
Решение. 1) А согласована с В и В согласована с А, значит, существуют матрицы АВ и ВА:
Итак, существуют матрицы АВ и ВА, однако АВ ¹ ВА.
2) Матрица А с В согласована, значит существует АВ:
Но матрица В не согласована с А, следовательно, произведение матриц ВА не существует.
|
Свойства умножения матриц
1. (АВС) = А (ВС); 2. А (l В) = l(АВ) = (l А) В;
3. (А + В) С = АС + ВС; 4. С (А + В) = СА + СВ;
5. АЕ = ЕА = А, где Е – единичная матрица; 6. А0 = 0А = 0.
7. det (АВ) = det А det В, т. е. определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей.
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Определение. Обратной матрицей относительно данной квадратной невырожденной матрицы А называется такая квадратная матрица произведение которой на данную есть единичная матрица:
Вырожденная матрица обратной не имеет.
Любая невырожденная матрица имеет единственную обратную.
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!