Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-12-22 | 158 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Если свободные члены системы (2.1) все равны нулю, то получится однородная система уравнений:
(2.3)
Ранг основной матрицы системы (2.3) и ранг ее расширенной матрицы всегда равны, следовательно, однородная система всегда совместна. Нулевое решение называемое тривиальным, является единственным, если В случае, когда система (2.3) имеет бесчисленное множество решений.
Пример 1. Решить систему уравнений
Решение. Преобразуем матрицу системы:
Полученная матрица, равносильная матрице данной системы, такова, что ее ранг равен двум и число неизвестных n = 2 , значит система имеет единственное решение
Пример 1. Решить систему уравнений
Решение. Составим матрицу системы и найдем ее ранг:
и .
Значит, т. к., например,
Итак, базисный минор тогда базисная переменная а
и – свободные. Следовательно, решение системы где – произвольные числа.
Если задать свободным переменным произвольные значения: где и то бесчисленное множество решений системы примет вид: где и
Собственные числа и собственные векторы матрицы
1. Всякий ненулевой вектор х называется собственным вектором матрицы А, если А х = l х, где l – некоторое число, называемое собственным значением (числом) матрицы
2. Если в некотором базисе вектор х и матрица А заданы:
и то равенству А х = l х будет эквивалентна следующая система:
(3.1)
Последняя однородная система относительно неизвестных l, m, n имеет всегда нулевое решение l = 0, m = 0, n = 0, т. е. х = 0, что нас не интересует. Ненулевое решение возможно тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т. е.
(*)
Последнее равенство называется характеристическим уравнением.
Каждый действительный корень l этого уравнения является собственным числом матрицы А. Координаты собственного вектора, соответ-ствующего каждому собственному числу, находят из системы уравне-
ний (3.1).
|
Замечание. Если х – собственный вектор матрицы А, то всякий, не равный нулю, коллинеарный ему вектор будет также собственным вектором матрицы А с тем же собственным числом.
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
Решение. Составим характеристическое уравнение (*):
и вычислим его корни:
Найденное собственное число l = –1 подставим в систему уравнений (3.1) и получим:
Решением последней системы являются числа:
где – собственный вектор данной матрицы.
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Понятие функции
Если каждому элементу х из множества D по некоторому правилу (закону) ставится в соответствие элемент у другого множества Е, то говорят, что между элементами (переменными) х и у существует функциональная зависимость; при этом переменную величину х называют независимой переменной, или аргументом, а переменную величину у – зависимой переменной, или функцией.
Функциональную зависимость между независимой переменной х и зависимой у записывают так:
или более подробно .
При этом множество D называется областью определения (или областью существования) функции, а множество Е – областью значения функции. Если функция f может быть задана на множестве N натуральных чисел:
, то такая функция называется функцией натурального аргумента, или числовой последовательностью с общим членом .
Если функция зависит от двух, трех и более аргументов, то она записывается следующим образом: или
Буква f является символом правила, по которому значениям аргумента ставятся в соответствие значения функции. Если при каком-либо исследовании рассматриваются различные функции, то при их символической записи могут использоваться различные буквы:
Функция считается заданной, если указано правило для определения значения функции, соответствующего данному значению аргумента. Такое правило может быть представлено различными способами. Наиболее часто встречающимися из них являются: аналитический, графический и таб-личный.
|
Некоторые классы функций
● Четные и нечетные функции
Рис. 25, а | Рис. 25, б |
Функция называется четной, если для всех х из области определения. График чет-ной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 25, а) | Функция называется нечет-ной, если для всех х из области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 25, б) |
Прочие функции не являются ни четными, ни нечетными, т. е. . Их графики не симметричны ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.
● Периодические функции
Функция называется периодической, если существует такое постоянное число , что в области определения функции. При этом наименьшее из таких чисел l называется периодом:
Так период функций и равен (рис. 26, а, 26, б). Период для функции и (рис. 26, в, 26, г).
● Монотонные функции
Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале (а, b), принадлежащем области существования этой функции, если боль-шему значению аргумента х из этого интервале соответствует большее (мень-шее) значение функции. Это значит, что для возрастающей функции при значениях имеем неравенство (рис. 27, а), а в случае убывания – неравенству соответствует неравенство (27, б).
Если функция опре-деленная на интервале, является только возрастающей или только убывающей на этом интервале, то она называется монотонной на интервале.
|
(а, b), если на этом интервале существуют такие точки и , что, например, на интервалах и функция возрастающая, а на интервале функция убывающая (рис. 27, в).
● Ограниченные функции
Функция , заданная на интервале (а, b), называется ограниченной на этом интервале, если существует такое число , что для всех х из данного интервала верно неравенство . Значит, график ограниченной функции лежит в полосе (рис. 28).
|
|
|
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!