Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-12-21 | 303 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Цели работы: научиться производить математические операции над комплексными числами.
Краткое изложение темы.
Комплексными числами называются числа вида , где и - действительные числа, а число , определяемое равенством , называется мнимой единицей, если для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом:
1) два комплексных числа и называются равными, если и ,
2) суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число ,
3) произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число .
Запись называется алгебраической формой записи комплексного числа, где - действительная часть, - мнимая часть комплексного числа.
Любое действительное число содержится в множестве комплексных чисел, его можно записать так: .
Числа и называются комплексно-сопряженными.
Числа и называются противоположными.
Модулем комплексного числа называется число .
Аргументом комплексного числа называется угол между действительной осью и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси. Записывается так: или .
Из определения тригонометрических функций следует, что если , то имеют место равенства:
,
.
Действия над комплексными числами и , заданными в алгебраической форме:
сложение: ,
вычитание: ,
умножение: ,
деление: .
Тригонометрическая форма комплексного числа
.
Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме:
умножение:
,
деление:
,
возведение в -ю степень:
- формула Муавра,
извлечение корня -ой степени
,
где - арифметический корень, .
Показательная функция с комплексным показателем
.
В частности, при получается соотношение
- формула Эйлера.
Для комплексных показателей остаются в силе основные правила действий с показателями.
Показательная функция имеет период, равный , т.е. .
Показательная форма записи комплексного числа .
Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме:
умножение:
,
деление:
,
возведение в -ю степень:
,
извлечение корня -ой степени
,
где - арифметический корень, .
формулы Эйлера.
Примеры выполнения заданий.
Пример 1. Найти модуль и главное значение аргумента числа .
Решение:
1. Выполним деление:
2. Найдем модуль данного числа:
.
3. Найдем главное значение аргумента:
Ответ: , , .
Пример 2. Представить в тригонометрической форме число: .
Решение:
Найдем модуль числа: .
Найдем главное значение аргумента:
Значит,
или
Ответ:
Пример 3. Возвести в степень .
Решение:
Представим данное число в тригонометрической форме.
Итак, .
По формуле Муавра получим
Ответ:
Пример 4. Извлечь корни из комплексного числа .
Решение:
Представим число 1 в тригонометрической форме: .
По формуле находим
если , то ,
если , то ,
если , то .
Ответ: , то , , то , , то .
Пример 5. Решите уравнение .
Решение:
Введем подстановку , тогда
Вычислим дискриминант .
Найдем корни уравнения , .
Тогда
или |
Ответ: , , , .
Задания для практической работы.
Вариант 1.
1. Найдите модуль и аргумент числа .
2. Выполните действия: .
3. Возведите в степень по формуле Муавра .
4. Извлеките корень .
5. Решите уравнение .
Вариант 2.
1. Найдите модуль и аргумент числа .
2. Выполните действия: .
3. Возведите в степень по формуле Муавра .
4. Извлеките корень .
5. Решите уравнение .
Практическая работа № 9.
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!