История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-12-21 | 1007 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Геометрический смысл производной
|
Определение. Касательной к кривой называется предельное положение секущей М0М, когда М М0 по кривой.
D х = х-х 0 .
Пусть секущая р, проходящая через точки М0(х 0; y 0) и М(х 0+D х; у 0+D y) образует с положительным направлением оси О х угол . Из DМ0АМ
, (1)
т.е. j = j (D x). Если D х 0, то М М0 по графику функции, и D y 0. Следовательно, секущая будет поворачиваться, и угол j будет изменяться. Так как arctg x - непрерывная функция то
.
То есть существует правой части (1). Значит, существует и левой части, т.е. существует , и имеет место равенство . Следовательно, существует предельное положение угла j, которое обозначим через j 0, т.е существует предельное положение М0Т секущей М0М при М М0. Следовательно, М0Т- касательная к графику у = f (x) в точке М0 и
Û .
Геометрический смысл производной состоит в следующем: производная функции f (x) в точке х 0 равна угловому коэффициенту касательной к кривой y = f (x) в точке (х 0; f (x 0)) (равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси О х)
Таким образом доказана
Теорема. Если функция f дифференцируема в точке х 0 (существует конечная производная ), то график этой функции имеет касательную, угловой коэффициент которой равен .
Замечание. 1) Если =0, то касательная к кривой в точке х 0 параллельна оси О х (tg =0 =0).
|
2) Если =¥ tg 0=¥ , то касательная к графику перпендикулярна оси О х (функция не дифференцируема в точке х 0, а касательная существует).
3) Может быть, что не существует, а касательная перпендикулярна оси О х.
Пример. - не дифференцируема в точке х =0. Прямая х =0 (ось О y) – касательная к графику в точке х 0=0.
2. Геометрический смысл дифференциала
Из рисунка: из DМ0АВ .
Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции y = f (x) в точке х 0- это приращение ординаты точки касательной к графику функции в точке M0(x 0; y 0), соответствующее приращению аргумента D х.
3. Уравнение касательной и нормали к графику функции y = f (x)
Известно, что всякая прямая не параллельная оси О у, проходящая через точку M0(x 0; y 0), имеет уравнение .
Пусть f (x) дифференцируема в точке х 0. Следовательно, график функции имеет в точке (x 0; y 0) касательную, угловой коэффициент которой . Тогда уравнение касательной имеет вид
.
Прямая, проходящая через точку M0(x 0; y 0) и перпендикулярная к касательной, называется нормалью к графику функции f в точке M0(x 0; y 0). Т.к. коэффициенты перпендикулярных прямых k 1 и k 2, связаны соотношением , то , , и, значит, уравнение нормали имеет вид
.
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!