Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-12-21 | 879 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть точка движется по некоторой кривой АВ, то есть каждому моменту времени t соответствует определённая точка М(х; y) кривой АВ. Тогда
x = j (t) - закон движения точки по оси ОХ,
y = y (t) - закон движения точки по оси ОУ,
.
(j и y должны быть дифференцируемы, т. к. существует скорость).
Уравнения (1)
полностью определяют кривую АВ. Переменная t (параметр), входящая в уравнения (1) может выражать не время, а другую физическую или геометрическую величину, то есть t – произвольный параметр.
Определение. Множество точек плоскости, координаты которых х и у удовлетворяют уравнениям (1), где j и y непрерывны на [ α; β ], называется кривой Жордана.
Уравнения (1) – параметрические уравнения кривой. Уравнения (1) задают не только совокупность точек, принадлежащих кривой, но и устанавливают порядок, в котором эти точки следуют друг за другом (при изменении t от α до β). При этом не исключено, что с одной и той же точкой (на рисунке точка К) движущаяся точка совместится дважды или более раз.
Точка M(x; y)=M(j (t); y (t)) кривой Жордана называется кратной, если она соответствует более, чем одному значению параметра . Если кривая не имеет кратных точек (то есть разным значениям t соответствуют разные точки кривой), то она называется простой кривой.
Если при t = β уравнения (1) определяют ту же точку кривой, что и при t = α, то есть , то кривая (1) называется замкнутой.
Если замкнутая кривая не имеет кратных точек, кроме А=В, то она называется простой замкнутой кривой.
Система (1) задаёт некоторую связь переменных х и у (какому-либо значению t соответствует определённое х и определённое у, значит, связь есть). Если из системы (1) удаётся исключить параметр t, то получаем уравнение кривой, связывающее координаты х и у.
|
Примеры.
1) x = a cos t,
y = a sin t, ,
- окружность с центром в точке (0;0) радиуса а.
2) x = a cos t,
y = b sin t, ,
- эллипс.
3) x = a cos t + x 0,
y = a sin t + y 0, ,
- окружность с центром в точке , радиуса а.
4) x = a (t -sin t),
y = a (1-cos t).
Пусть по прямой Ох катится окружность радиуса а.
Циклоида - линия, которую при этом описывает каждая точка окружности.
- первая арка циклоиды
При получим всю циклоиду.
5) ,
, - астроида (гипоциклоида)
t | ||||||||
х | ||||||||
y |
Построим по точкам.
t | |||||||||
х | -1 | ||||||||
y | -1 |
Из примеров видно, что кривая (1) не всегда является графиком некоторой функции, то есть уравнения (1) не всегда определяют функцию y = f (x) (хотя связывают х и у).
Пусть функция x = j (t) имеет обратную , x ÎX. Подставляя в функцию y = y (t), получим , x ÎX. Таким образом, если для функции x = j (t)существует обратная функция, то система (1) определяет функцию y = f (x).
Определение. Задание функции y = f (x) с помощью системы (1) называется параметрическим заданием функции.
Если в параметрически заданной функции уравнение x = j (t) разрешимо относительно t (t = t (x)), то параметрическое задание функции можно свести к явному: (но это не всегда можно сделать).
Пример. x = a cos t,
y = a sin t, ,
x = j (t) монотонно убывает и непрерывна на , . Следовательно, существует обратная функция , определённая на . Значит, - функция от х, определённая на .Так как , то y >0. Значит,
.
Наоборот, всякую функцию y = f (x) можно многими способами представить параметрически в виде (1). Для этого достаточно задать совершенно произвольно функцию x = j (t) параметра t. Тогда для y = f (x) становится функцией того же параметра: .
Примеры.
1) , .
Положим . Получаем
x =sin t,
, .
2) y = f (x), .
x = t,
y = f (t), .
Таким образом параметрический способ задания функции является более общим.
Теорема 1. Если в системе (1) функции j (t) и y (t) непрерывны на и j (t) на этом промежутке строго монотонна, то система (1) определяет непрерывную функцию y = f (x), определённую на .
|
Доказательство.
Так как j (t) непрерывна на , то по следствию из II теоремы Больцано-Коши. . Так как x = j (t) непрерывна и строго монотонна на , то она имеет обратную функцию , непрерывную и строго монотонную на . Тогда - композиция двух непрерывных функций на , следовательно, она является непрерывной на функцией.
Теорема 2. Пусть функция y = f (x) задана системой (1). Если функции j и y непрерывно дифференцируемы на , и на этом отрезке , то функция f дифференцируема на некотором промежутке D и справедлива формула
. (2)
Доказательство.
Так как непрерывна и на , то одного знака на (I теорема Больцано–Коши). Следовательно (это будет доказано позже), j (t) строго монотонна на . Значит, существует обратная функция , x ÎD. Так как , то обратная функция дифференцируема .
Так как y = y (t), а , то - сложная функция. Она дифференцируема на D, так как j и y дифференцируемые функции, и её производная: .
Пример. x = a cos t
y = a sin t, ,
D j (t)= a cos t, непрерывна на , на ,
y (t)= a sin t, , , , . D
Замечание 1. Если , , то .
Если , то в этой точке не определена (хотя это не значит, что не существует).
Например,рассмотрим функцию , , .
Пусть , .
, .
Точке t =0 соответствует точка х =1.
, , не определена.
Если функции j (t), дважды дифференцируемы и , то существует :
.
Пример 1.
(*)
x=j (t)=ln t - непрерывная, строго монотонная при t >0 существует обратная функция , . Тогда уравнения (*) задают на функцию y = f (x). Найдём .
I способ: , , ,
, ,
, ,
.
II способ:
, (но не всегда выражаются через х).
Пример 2.
, .
На некотором промежутке эти формулы задают функцию y = f (x).
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!