Оценка истинного значения измеряемой величины

Пусть производится n независимых равноточных измерений некоторой физической величины, истинное значение а которой неизвестно. Будем рассматривать результаты отдельных измерений как случайные величины х₁; х₂; …; х_{n .} Эти величины независимы (измерения независимы), имеют одно и то же математическое ожидание а (истинное значение измеряемой величины), одинаковые дисперсии σ (измерения равноточные) и распреде­лены нормально (такое допущение подтверждается опы­том). Истинное значение измеряемой вели­чины можно оценивать по среднему арифметическому результатов отдельных измерений при помощи довери­тельных интервалов.

Абсолютная погрешность среднего арифметического независимых измерений оценивается по формуле:

.

Интервальной оценкой величины х является доверительный интервал , в который попадает истинное значение с заданной доверительной вероятностью. Окончательный результат измерений запишется в виде: .

Относительная погрешность среднего арифметического:

Вычисление абсолютной погрешности
косвенных измерений

Если искомая величина у связана с измеряемой х функциональной зависимостью: y=f(x₁,x₂,…x_n), то такая величина называется косвенно измеряемой.

На практике достаточно часто требуется найти косвенно измеряемую величину и абсолютную и относительную погрешности косвенных измерений.

Пусть y=f(x) – функция зависит от одной переменной х. Были проведены измерения величины х»(), где – среднее арифметическое прямых измерений величины х, а – погрешность прибора или абсолютная погрешность прямых измерений.

Значение косвенно измеряемой величины вычисляется по формуле .

Абсолютная погрешность величины у вычисляется по формуле:

,

где – производная у по переменной х.

Относительная погрешность вычисляется по формуле: .

Пусть z=f(x,y) – функция, зависящая от двух переменных х и у. Проведены измерения величин х и у: х»() и , где и – средние арифметические прямых измерений величин х и у, и – погрешности приборов или абсолютные погрешности прямых измерений.

Значение косвенно измеряемой величины вычисляется по формуле .

Абсолютная погрешность величины z=f(x,y) вычисляется по формуле:

.

Относительная погрешность вычисляется по формуле

Решение задач

1. При исследовании плодов здоровых крыс были получены показатели масса тела плода: 2,58; 1,95; 2,04; 2,46; 2,56; 2,04; 2,46; 2,58; 2,56; 2,58; 3,04; 2,46. Найти приближенное значение величины с вероятностью 0,95.

Решение.

Найдем среднее арифметическое ;

Найдем абсолютную погрешность: ; вычислим сначала ; .

Составим расчетную таблицу:

	xi	mi	ximi
1,95		1,95	-0,49	0,2401	0,2401
2,04		4,08	-0,4	0,16	0,32
2,46		7,38	0,02	0,0004	0,0012
2,56		5,12	0,12	0,0144	0,0288
2,58		7,74	0,14	0,0196	0,0588
3,04		3,04	0,6	0,36	0,36
S			29,31			1,0089

 

Найдем коэффициент Стьюдента . Тогда .

Примечание. При записи результата применяют следующее правило округления: абсолютную погрешность округляют до двух значащих цифр по избытку. В приближенном значении округляют так, чтобы сохранились все надежные цифры и одна сомнительная. Сомнительная цифра находится в том же разряде, что округленная в абсолютной погрешности.

Относительная погрешность: .

Ответ: приближенное значение случайной величины .

2. При исследовании содержания общего белка в сыворотке крови у 5 крыс были получены следующие статистические данные: 6,1; 6,2; 6,7; 6,6; 6,3 (г%). Найти приближенное значение величины, абсолютную и относительную погрешности. Оценить качество измерений с вероятностью 0,95.

Решение.

	xi
6,1	-0,28	0,0784
6,2	-0,18	0,0324
6,3	-0,08	0,0064
6,6	0,22	0,0484
6,7	0,32	0,1024
S			0,268

 

Найдем среднее арифметическое: .

Найдем оценку средней квадратической погрешности среднего арифметического: ; (г%).

Абсолютная погрешность: .

Приближенное значение: .

Относительная погрешность: .

Ответ: приближенное значение случайной величины: нм; качество измерений неудовлетворительное.

3. Вычислить объем куба с ребром см. Оценить качество измерений.

Решение. Объем куба ; .

Найдем абсолютную погрешность: .

Тогда см³.

Найдем относительную погрешность: .

Ответ: см³, качество измерений удовлетворительное.

4. Вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, если длины его ребер: см; см; см. Оценить качество измерений.

Решение. Объем прямоугольного параллелепипеда . Тогда см³.

Найдем абсолютную погрешность: . Так как ; ; , то

(см³).

Найдем относительную погрешность:

Ответ: Объем равен: см³; качество измерений хорошее.

Самостоятельная работа студентов на занятии

1. Определить концентрацию сахарозы в растворе, абсолютную и относительную погрешности с вероятностью 0,99. Результаты наблюдений: 2,4; 2,7; 2,5; 2,6; 2,3. Оценить качество измерений.

2. Вычислить площадь круга с радиусом см, считая , т.е. как точное число, погрешность которого мала.

3. Вычислить площадь треугольника с основанием см и высотой см.

Задание на дом

Практика

1. Проведены равноточные измерения электрического сопротивления катушки. Полученные результаты представлены в таблице:

хi	6,27	6,271	6,272	6,273	6,274
mi

Найти приближенное значение сопротивления, абсолютную и относительную погрешности с доверительной вероятностью 0,99.

2. Вычислить площадь прямоугольника, если измерения длин сторон: ; .

3. Вычислить объем цилиндра, если высота , радиус основания .

4. При фотоэлектроколориметрическом определении концентрации ацетилсалициловой кислоты на основании реакции с сульфатом меди и пиридином были получены следующие результаты: 99,2%; 99,0%; 98,9%; 99,3%; 98,8%; 99,1%. Вычислить среднее значение полученных результатов и абсолютную и относительную погрешности при доверительно при вероятности 0,95.

Теория

Подготовка к контрольной работе.