Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-12-13 | 623 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть на отрезке [ a, b] задана непрерывная функция y=f(x)³0. Фигура ограниченная сверху графиком функции, снизу – осью Ох, сбоку – прямыми х=а, х=b, называется криволинейной трапецией.
Площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс (f(x)≥0), равна соответствующему определенному интегралу (геометрический смысл определенного интеграла): . Если криволинейная трапеция расположена ниже оси Ох (f(x)<0), то ее площадь может быть найдена по формуле: .
Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F=F(x), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х=а в положение х=b, находится по формуле: .
Путь пройденный телом
Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v=v(t). Путь S, пройденный ею за промежуток времени от t1 до t2: .
Решение задач
Пример 5.1. Вычислить интегралы:
1) ;
2) .
Решение: а) Найдем первообразную для функции f(x)=2x3: . Для того, чтобы воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница возьмем первообразную для которой С=0. Тогда
.
б) Выполним преобразование подынтегральной функции. Используя формулу таблицы интегралов и формулу Ньютона-Лейбница, а также свойство 5 определенного интеграла, получим:
Пример 5.2. Вычислить интегралы
1) ,
2) ,
3) .
Решение: а) Применим метод подстановки. Пусть . Тогда
и . Найдем новые пределы интегрирования: . Следовательно,
.
б) Воспользуемся методом интегрирования по частям.
Положим u = x, dv = e –xdx, откуда du = dx, v = – e –x .
Тогда
.
в) Найдем интеграл методом подстановки. Положим lnx=t, тогда . Найдем новые пределы интегрирования: . Следовательно,
|
.
Пример 5.3 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .
Решение: Сделаем чертеж. Из чертежа (рис. 5.2) видно, что искомая площадь S криволинейного треугольника ОАВ равна разности двух площадей: , каждая из которых находится по геометрическому смыслу определенного интеграла.
Рис. 5.2
Решим систему . Получаем, что точка В пересечения прямой и кривой имеет координаты (2; 4). Тогда
,
.
Окончательно
Отметим, что данная задача может быть также решена другим способом. В данном случае площадь вычисляется посредством проецирования криволинейной трапеции на ось ординат. Пределы интегрирования найдены как ординаты точек пересечения данных линий. Тогда
.
Пример 5.4. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?
Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т. е. F = kx, где k – коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k . 0,01, откуда k =10000; следовательно, F =10000х.
Искомая работа равна .
Пример 5.5. Пусть скорость выражена формулой v(t)=10t+2 (м/с). Найти путь, пройденный телом от начала движения (t=0) до конца 4-й секунды.
Решение: Путь, пройденный телом равен:
.
Самостоятельная работа студентов на занятии
Вычислить определенные интегралы:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8.
Вычислить площади фигур ограниченных линиями:
9. у= соs x и осью Ох, в пределах от 0 до .
10. у=х2, у=|х|.
11. Вычислить работу, произведенную при сжатии пружины на 0,03 м, если известно, что для укорочения ее на 0,005 м нужно приложить силу в 10 Н.
12. Скорость движения тела v=3t2–2t (м/с). Какой путь пройдет тело за 5 с от начала движения?
Задание на дом
Практика
Вычислить определенные интегралы:
1.
2. .
3.
4.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: и ;
6.. Определить площадь фигуры, заключенной между кривой и прямой .
7. Определить массу стержня длиной l =10 м, если линейная плотность стержня меняется по закону = (6+ 0,3x) , где х – расстояние от одного из концов стержня. Площадь поперечного сечения S=1м2. (Указание. Масса стержня на элементарном участке dx равна dm=rSdx, где r – плотность, S – площадь поперечного сечения)
|
Теория
1. Лекция по теме «Случайные события и их классификация. Классическое и статистическое определения вероятности. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий».
2. Занятие 6 данного методического пособия.
3. Павлушков И.В. и другие стр. 219-234
Занятие 6. Основные понятия теории вероятностей. Классическое и статистическое определение вероятности. Круглый стол «Применение математического анализа при решении задач физики, химии, фармации»
Актуальность темы: классическое и статистическое определение вероятности события являются базовыми понятиями теории вероятностей.
Цель занятия: закрепить понятия теории вероятностей и методы решения задач на классическое и статистическое определение вероятности.
Целевые задачи:
знать: понятия случайного события, классификацию случайных событий, определение полной группы событий; классическое и статистическое определения вероятности, свойства вероятности;
уметь: решать задачи на вычисление вероятностей событий.
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!