Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-12-13 | 546 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
381. Точки разрыва функции и их классификация.
Точка а называется точкой разрыва функции , если функция не является непрерывной в этой точке.
Если – точка разрыва функции , то в ней не выполняется, по крайней мере, одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:
1. Функция определена в некоторой окрестности точки а, но не определена в самой точке а.
Например, функция не определена в точке (рис. 1).
Рис. 1 | Рис. 2 |
2. Функция определена в точке а и ее окрестности, но не существует предела при .
Например, функция
(1)
определена в точке , однако в точке имеет разрыв (рис. 2), т. к. эта функция не имеет предела в этой точке:
, а .
3. Функция определена в точке а и ее окрестности и существует .
Например, рассмотрим функцию (рис. 3)
(2)
Рис. 3
Здесь – точка разрыва функции , т.к. а .
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Точка а называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа, т.е. и . При этом:
а) если , то точка а называется точкой устранимого разрыва; б) если , то точка а называется точкой конечного разрыва. Величину называют скачком функции в точке разрыва .
Точка а называется точкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует.
Так, функция (рис. 1) имеет разрыв второго рода в точке . Для функции (1) (рис. 2) точка является точкой разрыва первого рода со скачком, равным . Точка является точкой разрыва первого рода для функции (2) (рис. 3). Положив (вместо ) при , разрыв устранится, функция станет непрерывной в точке .
382. Непрерывность элементарных функций.
|
Разумеется, имеется бесконечно много разных функций. Однако среди них выделяется класс элементарных функций. К ним относятся:
а) степенная функция у=xn;
Функция y=xm, где m – произвольное вещественное число, называется степенной функцией. В общем случае считается, что она определена для x>0, хотя при некоторых частных значениях m (например, когда m - целое число) она имеет смысл и при x<0.
Графики этой функции имеют различный вид при разных m.
а) 0<m<1.В этом случае y=xm определена для x³ 0. Она является строго монотонно возрастающей функцией и непрерывна для всех x³ 0.
б) m>1.В этом случае y=xm определена для x³ 0. Она является строго монотонно возрастающей функцией и непрерывна для всех x³ 0.
б) m<0.В этом случае y=xm определена для всех x>0 и . Она является строго монотонно убывающей функцией и непрерывна для всех x>0.
б) показательная функция у=ax;
Функция y=ax называется показательной функцией. Число a является произвольным положительным вещественным числом, т.е. a>0. Функция определена и непрерывна для всех вещественных х. Ее графики имеют различный вид в зависимости от значения а.
При a>1 y=ax строго монотонно возрастает.
При 0<a<1 y=ax строго монотонно убывает.
Основным свойством показательной функции является следующее свойство:
Можно показать, что среди непрерывных функций показательная функция – единственная функция, удовлетворяющая свойству f(x1+x2)=f(x1)f(x2).
Следствием этого свойства является следующее: (ax)m=axm
в) логарифмическая функция у=loga(x);
Функция, обратная ax, называется логарифмической функцией, и обозначается logax. Ее свойства получаются как следствия свойств функции ax.
а) а>0
Так как ax строго непрерывна, то и logax тоже непрерывна.
б)0<x<1
log ax непрерывна.
Можно показать, что logax – единственная непрерывная функция, удовлетворяющая свойству.
г) гиперболические функции sh(x), ch(x), th(x);
С функцией ex тесно связаны функции, получившие название гиперболических. К ним относятся:
|
гиперболический синус
гиперболический косинус
гиперболический тангенс
Рассмотрим коротко свойства этих функций.
th(-x)= –th(x)
ch(-x)= ch(x)
т.е. sh(x) и th(x) являются нечетными функциями, а ch(x) – четной функцией. Графики их изображены на рисунках.
д) тригонометрические функции sin(x), cos(x), tg(x);
Т.к. эти функции подробно изучаются в школе, то напоминать их свойства мы не будем. Укажем лишь, что sinus(x) и cos(x) непрерывны для всех x, а имеет разрывы второго рода в точках, где cos(x)=0, т.е. в точках
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!