Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
 2017-12-13 |
 434 |
из
5.00
|
Заказать работу |
|
|
|
|
10. Пусть функция 
определена и непрерывна в окрестности точки 
. Если независимой переменной х придать приращение D х в этой точке, то функция получит соответствующее приращение 
. Если D х ®0, то, по определению непрерывной в точке функции, и D у ®0.
С целью исследования скорости изменения значений функции вводится понятие производной.
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.
Для обозначения производной используются символы: 
. Таким образом, по определению
. (1)
Операцию нахождения производной называют дифференцированием.
Если функция имеет производную 
в каждой точке 
, то производную можно рассматривать как функцию переменной х на множестве X.
Cуществуют односторонние пределы: 
и 
, не равные между собой. Такимобразом, производная функции 
в точке 
не существует. □
Учитывая, что существуют вышеуказанные односторонние пределы, в этом случае говорят, что у рассматриваемой функции существуют односторонние производные в точке (правая и левая соответственно).
Выясним связь между существованием производной и непрерывностью функции в заданной точке.
Функция может быть непрерывной в точке, но не иметь в ней производной
20. Геометрический смысл производной. Пусть функция определена на интервале 
. Предположим, что кривая АВ является графиком этой функции (рис. 1). Пусть 
– произвольная точка графика. Придадим аргументу 
приращение D х. Соответствующую точку на графике обозначим через 
.
Через точки М и Р проведем секущую. Найдем угловой коэффициент секущей, проходящей через точки М и Р. Ясно, что он вычисляется по формуле (см. рис. 1) 
Если точку Р устремить по кривой АВ к точке М, то положение секущей будет, вообще говоря, изменяться.
|
|
Если при 
существует предельное положение секущей, то полученная прямая называется касательной к графику в точке . Понятно, что условием существования предельного положения секущей является существование следующего предела:
Итак, график функции имеет касательную в точке тогда и только тогда, когда функция дифференцируема в точке и 
является угловым коэффициентом касательной.
Составим теперь уравнение касательной в точке как уравнение прямой, проходящей через точку 
, 
, имеющей угловой коэффициент, равный :
(2)
Прямая, проходящая через точку 
и перпендикулярная касательной, называется нормалью к графику функции в этой точке. Учитывая условие перпендикулярности двух прямых, запишем уравнение нормали:
(полагаем, что 
).
Если 
, то нормалью будет прямая 
.
30. Физический смысл производной. Пусть некоторая материальная точка М движется прямолинейно и задан закон ее движения 
,т.е. известно расстояние s (t) от точки М до некоторой начальной точки отсчета в каждый момент времени t. В момент времени 
точка пройдет расстояние 
, а в момент времени 
– расстояние 
. За промежуток времени 
точка М пройдет расстояние 
.
Отношение 
можно рассматривать как среднюю скорость движения на промежутке времени 
. Чем меньше промежуток времени , тем точнее соответствующая средняя скорость будет характеризовать движение точки в момент времени . Поэтому предел средней скорости движения при 
называют скоростью движения (или мгновенной скоростью движения) точки М в момент времени и обозначают 
, т.е.
.
Но выражение справа есть 
. Таким образом, 
, т.е. скорость движения в момент времени есть производная от пройденного пути по времени.
Понятие скорости, заимствованное из механики, удобно использовать и при изучении произвольной функции. Какую бы зависимость не отражала функция , отношение 
есть средняя скорость изменения зависимой переменной y относительно аргумента x, а 
есть скорость изменения y в точке x.
|
|
43. Правила дифференцирования, производная сложной и обратной функции. Производные элементарных функций.
431. Правила дифференцирования, производная сложной и обратной функции.
Если функции 
и 
имеют производныев точке x, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также имеют производную в этой точке (частное при условии, что 
) и справедливы следующие формулы:
, 
, 
. (1)
Производная обратной функции.
Утверждение 1. Если функция строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки , имеет производную в точке и , то обратная функция 
имеет производную в соответствующей точке 
, , причем 
.
|
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!