Условия корректного моделирования случайного события

Парадокс Бертрана, рассмотренный в предыдущем пункте, показывает, что не всякое случайное событие может иметь однозначную вероятность своего исхода. Пример трагического исхода с пешеходами, рассмотренный в п. 9.1 выражает случайное событие в процентах, но это случайное событие не имеет вероятности, так как не обладает свойством статистической устойчивости.

Математическую модель случайного события назовём корректной, если условия, определяющие это случайное событие, позволяют однозначно вычислить вероятность этого события.

Выясним, какой комплекс условий гарантирует корректное моделирование случайного события.

Свойство статистической устойчивости случайного события, о котором говорилось в п. 9.2, гарантирует существование вероятности случайного события. Вычисляется эта вероятность согласно классическому определению как отношение меры благоприятных исходов к мере полной группы элементарных исходов. В качестве меры может служить натуральное число или геометрическая мера. Чтобы так определяемая вероятность вычислялась однозначно, надо чтобы комплекс условий позволил единственным способом реализовать группу элементарных исходов числовым множеством, на котором определена мера представления этих исходов.

Вывод. Случайное событие имеет корректную математическую модель, если комплекс условий определяющих это случайное событие 1) позволяет говорить о статистической устойчивости и 2) гарантирует однозначное представление полной группы элементарных исходов числовым множеством с соответствующей мерой.

10.5 Вопросы и задания к теме «Моделирование случайных событий случайными величинами»

Вопросы

1.В каких задачах возникают геометрические вероятности?

2.Чем объясняется парадокс Бертрана?

3. Можно ли вычислить вероятность того, что спустившись в метро, вы не будете ожидать поезда?

4. Как определяются дискретная и непрерывная случайные величины?

 

Задания

 

1. Постройте другие случаи «решения» задачи Бертрана.

2. Объясните условия корректного моделирования случайного события.

3. Приведите примеры практических задач, которые приводят к задаче о встрече.

 

Заключение

 

Язык изложения нашего краткого курса математики для гуманитариев по своей сложности не выходит за рамки школьной программы, но при изучении этот курс потребует дополнительных интеллектуальных усилий.

По возможности мы опирались на язык геометрических моделей. Этот язык максимально приближен к наглядности. Наглядность – это визуальное представление информации. Строгость такого представления не ниже, чем в абстрактной символьной модели. Строгость языка рассмотренных геометрических моделей определяется свойствами непротиворечивости, независимости, категоричности и дедуктивной полноты аксиоматик Гильберта, Вейля, Лобачевского и других современных аксиоматик.

Таким образом, уровень строгости языка определяется свойствами выразимости и не зависит от степени наглядности или абстрактности.

Примеры §8 показывают, что “дефекты” выразимости присущи как визуальным, так и абстрактным аксиоматическим системам.

Какой мы сделаем вывод в конце нашего краткого курса?

Следуя высказыванию Л. Эйлера, мы заключаем, что всякая языковая знаковая система обнаруживает три основные функции естественного языка: 1) отслеживание смысла, 2) формирование умозаключений и 3) средство коммуникаций.

Первые две функции в естественном языке используются для построения мыслимых моделей и являются инструментом процесса мышления. Третья функция использует знаковые системы для связи субъекта с внешним миром и является инструментом для реализации продукта мышления. Поскольку интеллект есть способность субъекта мыслить, то язык является единственным инструментом интеллекта.

Математический язык – это искусственный язык, который позволяет оптимально кодировать, хранить и передавать информацию. Например, 20 аксиом геометрии вместе с заданием точек, прямых, плоскостей и отношениями (принадлежности, порядка, конгруэнтности, параллельности и непрерывности) образуют геометрический язык и позволяют «хранить» в геометрической структуре около 20000 утверждений, которые составляют предмет геометрической теории и могут быть логически выведены в рамках этой теории.

Язык геометрии строился несколько тысячелетий. Можно предположить, что основные геометрические структуры, изученные нами, являются каноническими моделями, по образу и подобию которых строятся многие естественнонаучные модели и теории. Мы видели, что визуальность евклидовой геометрии не делает ее менее строгой, чем чисто логические построения. Действительно, геометрические аксиоматики обладают свойствами совместности, независимости и относительной дедуктивной полнотой, которая следует из категоричности геометрических аксиоматик. Поэтому можно считать, что качество модели, иллюстрирующих какие-либо явления, также определяются наличием свойств совместности, независимости и дедуктивной полноты системы аксиом, определяющих эти модели.

Рассмотрим следующий пример дискуссионной ситуации. Тему дискуссии назовем «Абсолютная геометрия». Цель дискуссии – установить свойства фигур в такой планиметрии, в которой нет аксиомы параллельности и подтвердить эти свойства визуальными примерами. Результат дискуссии состоит в правильном ответе: да или нет на любое утверждение, сформулированное на языке геометрических отношений, задаваемых 14 аксиомами планиметрии без аксиомы параллельности.

- Вопрос: Равны или нет два треугольника по трем равным сторонам?

- Ответ: Да.

Действительно, этот признак равенства треугольников не зависит от аксиомы параллельности.

- Вопрос: Равны два треугольника по трем равным углам?

- Ответ: Ни Да, ни Нет!

Действительно, в арифметической модели евклидовой плоскости R² ответ – Нет; в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского ответ – Да! Такая неопределенность ответа связана с дедуктивной неполнотой абсолютной планиметрии. Следовательно, абсолютная планиметрия – “некачественная” модель плоскости, т.к. некоторые вопросы не имеют определенного ответа и мы знаем, что это связано с дедуктивной неполнотой абсолютной планиметрии. Дело в том, что человеку неизвестна визуальная модель абсолютной планиметрии без участия аксиомы параллельности. Когда мы представляем совокупность плоских фигур и изображаем отношения между ними, то обязательно вкладываем определённую реализацию аксиомы параллельности, будь это обычная сфера, плоскость Евклида или Лобачевского.

Теперь представим, что мы ведём дискуссию о свойствах объектов некоторой модели физической, экономической или социальной сферы, причём, мы не уверены, что знаем все основополагающие законы (аксиомы) этой модели. Участники дискуссии, при этом, будут использовать для формирования своих субъективных образов какие - то различные модели, которые возможно содержат взаимоисключающие интерпретации неизвестных законов (аксиом). В результате дискуссии участники вполне логичными умозаключениями придут к противоречивым выводам, как это было в дискуссии «абсолютная планиметрия». Таким образом, искать истину логическим путём мы можем только в теории, построенной на дедуктивно полном наборе законов (аксиом).

Мы выяснили, что объектами математического языка являются объекты математических структур. Языковые функции теории математических структур составляют те же три функции, которые выделяют в естественном языке. Поэтому математике отводится роль имитации мыслительных процессов в формализованной знаковой системе.

Вывод. Математический язык развивался, развивается и будет развиваться, формируя искусственный интеллект, который функционирует параллельно естественному интеллекту и в определенном смысле оптимизирует работу последнего.

Формы познания человеком окружающей действительности имеют единую сущность, которая выражается в законах самоорганизации языковых систем. В языковых системах, используемых человеком для создания мыслительного образа, преобразования этого образа и реализации в виде модели, концентрируются законы, по которым организуется любое мыслительное познание мира. Применяя математику как языковой инструмент исследования, мы накапливаем интеллектуальный опыт и концентрируем его в знаковой системе по закону математической структуры. Построенные мыслимые модели анализируются и составляют отношения интеллектуального опыта к реальности. Анализ этих отношений строится по различным реализациям, возникающим в человеческой практике.

Обозначения.

В тексте используются следующие общепринятые обозначения:

Þ – знак логического следствия “отсюда следует, что”;

Û – знак эквивалентности утверждений “тогда и только тогда, когда”;

Ç – знак пересечения множеств;

È – знак объединения множеств;

аÎА, (аÏА) – знак принадлежности (не принадлежности) элемента “а” множеству А;

Ù – знак конъюнкции “и”;

Ú – знак дизъюнкции “или”;

"х, у(Р(х,у)) – для всякого х, для всякого у, обладающих свойством Р(х,у);

$ z(Р(z)) – существует z со свойством Р(z);

"х $ у Р(х,у) Þ Q(х,у)) – для всякого х существует у такое, что из свойства Р(х,у) следует Q(х,у);

«– знак взаимно-однозначного соответствия;

 

а, АВ – векторы;

L() – изоморфизм;

а (х₁,...,х_n) – координаты вектора;

Еⁿ, (n=1,2,3) – арифметическая модель n-мерного векторного пространства;

Rⁿ – арифметическая модель n-мерного евклидова пространства;

eⁿ – геометрическая модель n-мерного евклидова пространства;

L₂ - модель Пуанкаре плоскости Лобачевского;

|| – знак параллельности;

~ – знак отношения эквивалентности;

Æ – пустое множество;

Т_S – аксиоматическая теория;

S_т – аксиоматическая структура;

Т – система аксиом;

R(Т) – реализация системы аксиом Т.

Литература

 

1. Клайн М. Математика. Утрата определенности. – М.: Мир, 1988.

2. Орлов Ю.К. Невидимая гармония. Число и мысль. – М.: 1980. Вып.3 с.73.

3. Квантитативная лингвистика и семантика. Сборник научных трудов, вып.1, – Новосибирск, изд-во НГТУ,1999. – 168 с.

4. Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.:1960. – 575 с.

5. Гильберт Д., Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. – М.: Наука, 1981.

6. Хинчин А.Я. Ценные дроби. – М.: ФМ, 1961. – 112 с.

7. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. – М.: Наука, 1978.

8. Пуанкаре А. О науке. – М.: Наука, 1983.

9. Александров А.Д. Основание геометрии. – М.: Наука, 1987.

10. Биркгофф Г. математика и психология. – М.: “Советское радио”, 1977.

11. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. – М.: МГУ, 1982.

12. Мандельброт. Б. Теория информации и психолингвистика: теория частот слов. «Математические методы в социальных науках». – М.: Прогресс, 1973, с.316-337.