История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
 2017-12-13 |
 266 |
из
5.00
|
Заказать работу |
|
|
|
|
Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом этой системы не может быть выведена (или опровергнута) из остальных аксиом как теорема. В противном случае система аксиом называется зависимой.
Для иллюстрации этого свойства обратимся снова к геометрической теории, основанной на аксиоматике Гильберта. Ясно, что непосредственная проверка независимости каждой из 20 аксиом затруднительна. История V постулата "Начал" Евклида является поучительным тому примером. Четвертый постулат о конгруэнтности всех прямых углов в последствии был доказан как логическое следствие других аксиом и постулатов (точнее других "очевидных" утверждений). Возник вопрос о независимости или прямом доказательстве следующего, пятого постулата о параллельных прямых. Тем более, см. замечание к аксиоме параллельности в §2, что как бы "половина доказательства" аксиомы параллельности уже была известна. Более двух тысяч лет предпринимались попытки доказать одно из двух: либо то, что V постулат есть логическое следствие других "более очевидных" утверждений, либо то, что он не доказывается исходя из каких-либо "очевидных" утверждений, аксиом и постулатов.
Сформулируем назревший вопрос. Существует ли эффективное достаточное условие для проверки независимости какого-либо утверждения А от системы аксиом Т (проверенной уже на совместность). Такое условие существует и для совместной системы аксиом формируется следующим образом в терминах реализаций.
Теорема. Пусть Т – непротиворечивая система аксиом. Утверждение А не зависит от системы аксиом Т, если вместе с некоторой реализацией R1 (Т, А) системы Т и утверждения А существует некоторая другая реализация R2(T, ùА ) системы Т и отрицания утверждения ùА .
|
|
Доказательство. Пусть существует реализация R2(T, ùA) системы аксиом Т и отрицания утверждения - ùА, и пусть Т 
А. Тогда реализация R2(T, ùA) содержит вместе со свойством ùА и его отрицание А=ù (ùА), что несовместимо с понятием реализации (см. п.6.3, §6, если в реализации выполняется некоторое свойство, то не может выполнятся одновременно и его отрицание). Следовательно, предположение Т А (о том, что А следует из Т) неверно. Точно так же можно проверить, что наличие реализации R1(Т,А) не позволяет опровергнуть утверждение А. Действительно, пусть Т ˥А, то есть, имеет место опровержение утверждения А. Тогда реализация R1(Т, А) вместе со свойством А обладает и свойством ùА, что невозможно по определению реализации. Теорема доказана.
В качестве применения этого достаточного условия докажем независимость аксиомы параллельности от всех остальных 14 аксиом планиметрии.
|
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!