Указания к решению задач контрольной работы №1

К задаче 1.1

а) Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду при помощи элементарных преобразований матрицы, выполненных над строками:

Здесь оставили первую строку без изменения, затем первую строку умножили на (−3), а вторую на 2, сложили их и записали второй строкой, после чего первую строку умножили на 2, сложили с третьей строкой и записали третьей строкой.

Затем, оставив первую и вторую строки без изменений, умножим вторую строку на (−5), а третью – на 7, сложим их и запишем третьей строкой:

Ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен количеству неизвестных

Система совместна, имеет единственное решение.

Поставим в соответствие расширенной матрице систему, эквивалентную исходной, решение которой совершаем снизу вверх:

Из третьего уравнения получим . Подставляя значение во второе уравнение, получим . Подставляя значения и в первое уравнение, получим .

Ответ: (2; 1; 1).

б) Решим систему уравнений по формулам Крамера. Формулы Крамера имеют вид:

где – определитель системы, ; получим из определителя системы, заменой i -го столбца столбцом свободных членов.

.

124,

,

Значит, по формулам Крамера

в) Решим систему с помощью обратной матрицы. Запишем систему в матричной форме

Найдем обратную матрицу . Определитель системы , значит, матрица невырожденная и имеет обратную матрицу, определяемую по формуле

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы:

Таким образом,

и искомое решение имеет вид

К задаче 1.2

Выпишем матрицу системы и выполним элементарные преобразования строк матрицы. Для этого поочередно первую строку умножим на (–3), (–1) и
(–5) и сложим соответственно со второй, третьей и четвертой строками. Затем умножим вторую строку преобразованной матрицы на (–1) и сложим ее с третьей и четвертой строками. В результате получим матрицу с двумя нулевыми строками.

~ ~ ~ .

Ранг матрицы A равен 2 и меньше количества неизвестных .Следовательно, система имеет нетривиальное решение.

Базисный минор – , базисные переменные – ; свободные переменные – . Сокращенная система имеет вид

Û Û Û

Û

Пусть . Получим общее решение в виде:

Положив и , из общего решения получим фундаментальную систему решений:

К задаче 1.3

.

1) Определим координаты вектора :

;

.

Определим длину вектора :

2) Найдем скалярное произведение векторов :

.

3) Косинус угла между векторами найдем по формуле

Длины векторов равны

Значит, по формуле (1)

.

4) Имеем

.

5)Площадь параллелограмма, построенного на векторах

(кв. ед.).

Площадь треугольника, построенного на векторах

6) Объем параллелепипеда, построенного на векторах , равен

Объем пирамиды, построенной на векторах , равен

К задаче 1.4

1) Запишем уравнение прямой BC как уравнение прямой, проходящей через две точки, по формуле:

Имеем

Координаты нормального вектора, перпендикулярного прямой BC , угловой коэффициент

2) Составим уравнение прямой , параллельной прямой . Так как прямые и параллельны, то их угловые коэффициенты равны

Составим уравнение прямой по формуле

где координаты точки A, . Имеем

отсюда – уравнение прямой, параллельной прямой BC.

3) Составим уравнение высоты AH. Так как прямая AH перпендикулярна прямой BC, то

Находим уравнение высоты:

4) Составим уравнение медианы BM. Найдем координаты точки M – середины отрезка AC:

Запишем уравнение прямой BM как уравнение прямой, проходящей через две точки B и M:

отсюда – уравнение медианы BM.

5) Найдем координаты точки E пересечения прямых AH и BM, решив систему уравнений:

Отсюда . Точка

6)Найдем длину высоты AH как расстояние от точки A до прямой BC по формуле

где – координаты точки A, –общее уравнение прямой BC.

Получим по формуле (2)

К задаче 1.5

а)

Уравнение кривой получим, разделив обе части данного уравнения на 16:

Получили эллипс, полуоси которого и .

Построим эллипс (рис. 1).

x

y

−2

−4

Рис. 1

 

б)

Уравнение кривой получим, разделив обе части данного уравнения на 2:

Получили гиперболу с одинаковыми полуосями . Фокусы гиперболы находятся на оси . Уравнения асимптот .

Строим гиперболу, причем сначала построим ее асимптоты (рис. 2).

x

y

Рис. 2

в) .

Уравнение кривой получим, преобразовав уравнение к виду

Точка – вершина параболы. Ветви параболы направлены вниз. Парабола симметрична относительно оси .

Строим параболу (рис. 3).

x

y

−3

Рис. 3

К задаче 1.6

A (2; 1; −1),

B (3; 0; 2),

C (−1; 2; 2),

D (0; 1; −3).

1) Пусть – произвольная точка плоскости. Тогда векторы компланарны, поэтому

Раскрывая определитель, получим

или Это и есть искомое уравнениеплоскости.

2) Выпишем координаты перпендикулярных к плоскостям ABC и xOy векторов . Тогда, по формуле (1),

то есть .

3) В качестве направляющего вектора оси Oz можно взять вектор
. Так как нормальный вектор плоскости ABC имеет координаты ,то

4) Вектор , перпендикулярный данной плоскости xOy
(или ), будет, очевидно, параллелен искомой. Таким образом, искомая плоскость проходит через точки B и C параллельно вектору .

Пусть – произвольная точка искомой плоскости, тогда векторы и компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно нулю:

Вычисляя определитель, получим искомое уравнение плоскости

5) Вектор , перпендикулярный плоскости P, будет направляющим вектором перпендикуляра AF. Поэтому канонические уравнения этого перпендикуляра имеют вид

6) Параметрические уравнения прямой AF:

Подставляя значения в уравнение плоскости P

найдем значение параметра , отвечающее точке F как точке пересечения прямой AF с плоскостью P. Следовательно,

7) Найдем длину AF:

Контрольная работа №2

Задача 2.1. Даны комплексные числа и . Вычислить , где
. Для контроля проверить равенство .

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

Задача 2.2. Решить уравнение:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Задача 2.3.

1. Автобусу, в котором находится 10 пассажиров, предстоит сделать 5 остановок. Сколькими способами могут распределиться пассажиры между этими остановками, начиная со второй?

2. Общество из 20 членов выбирает открытым голосованием из своего состава одного представителя. Сколькими способами может произойти голосование, если каждый голосует за одного человека (быть может, и за себя)?

3. Общество из 20 человек выбирает «тайным» голосованием (учитывается лишь число голосов, полученных каждым кандидатом, но неизвестно, кто за него голосовал) из своего состава одного представителя. Сколькими способами может произойти голосование, если каждый голосует за одного человека?

4. Сколькими способами можно разделить на команды по 5 человек для игры в баскетбол группу из 20 человек?

5. Сколькими способами 3 человека могут разделить между собой 2 яблока, 5 груш, 4 сливы, 3 апельсина и 1 мандарин (фрукты одного вида считаются одинаковыми)?

6. Переплетчик должен переплести 12 одинаковых книг вкрасный, зеленый и синий переплеты. Сколькими способами он может это сделать?

7. Сколькими способами можно разделить на команды по 6 человек для игры в волейбол группу из 24 человек?

8. Сколькими способами 4 черных шара, 6 белых шаров и 2 красных шара можно разложить в 6 различных ящиков?

9. Сколькими способами можно разложить 15 различных книг на 3 бандероли по 4 книги и одну бандероль в 3 книги?

10. Из 80 маслят хотят сделать 4 связки по 20 грибов в каждой. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 2.4. Составить таблицу истинности функции и написать для нее совершенную ДНФ и совершенную КНФ.

1. 2. .

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Задача 2.5. Для орграфа найти кратчайший путь от x к y с помощью алгоритма Дейкстры.

y

v 1

v 3

x

v 2

v 4

v 5

1.

y

v 1

v 3

x

v 2

v 4

v 5

2.

y

v 1

v 3

x

v 2

v 4

v 5

3.

y

v 1

v 3

x

v 2

v 4

v 5

4.

y

v 1

v 3

x

v 2

v 4

v 5

5.

y

v 1

v 3

x

v 2

v 4

v 5

6.

y

v 1

v 3

x

v 2

v 4

v 5

7.

y

v 1

v 3

x

v 2

v 4

v 5

8.

y

v 1

v 3

x

v 2

v 4

v 5

9.

y

v 1

v 3

x

v 2

v 4

v 5

10.