История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-12-12 | 238 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Д.У вида Р(х,у)dх + Q(x,y)dy=0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u(x,y)
Теорема.
Уравнение Р(х,у)dх + Q(x,y)dy=0 с непрерывной диф. функцией Р(х,у) и Q(x,y) является уравнением в полном дифференциале тогда и только тогда, когда выполняется условие: ðP/ðy=ðQ/ðx.
Доказательство.Необходимось:
пусть левая часть ур. Р(х,у)dх + Q(x,y)dy=0 есть полный дифференциал неявной ф-ииu(x,y)
Р(х,у)dх + Q(x,y)dy=
P(x,y)= Q(x,y)=
Продифференцируем 1-е соотношение P(x,y)= по у, а 2-е Q(x,y)= по х.
и
В силу равенства получаем: ðP/ðy=ðQ/ðx
Достаточность:
при выполнении усл. и Р(х,у)dх + Q(x,y)dy=0 есть полный дифференциал некоторой ф-ииu(x,y).
Интегрируя по х из P(x,y)= Q(x,y)= : u(x,y)=
Подберем ф-ю чтобы выполнялось 2-е соотношение. Для этого продифференцируем равенство по у и результат приравняем
Необходимо показать что первая часть равенства не зависит от х.
Интегрируем рав-во и получаем:
U(x,y)=C общее решение уравнения Р(х,у)dх + Q(x,y)dy=0
10.Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о существовании и единственности решения. Задача Коши. Приемы понижения порядка (на примерах ДУ 2-ого порядка).
F(x,y, y´…… =0 – наз. диф. ур. n-ого порядка. Будем предполагать, что оно разрешается относительно n-ой произ.
)
Теорема Коши.
Если ф-я и её частная производная от аргумента y,y´, определена и непрерывна в области R, содерж. точку()то в некоторой окрестности точки х0 существует ед. решение ур. )удавле. усл. y(x0)=y0; y´(x0)=y ; … (x0)= )
Это условие есть условие Коши.
Задача отыскания решения ур. ) удовл. этим усл. наз. задачей Коши для ур. )
В зад. Коши для диф. ур. 2-го порядка
В некоторых частных случаях д.у. высших порядков можно решать методом понижения порядка.
|
1. у´´=f(x) т.к. у´´=(у´)´, то интегр. левую и правую часть
у´=
y=
С1 и С2 – производные константы
2. у´´=f(x, y´), у´=z=z(x), y´´=z´, z´=f(x.y)
z= z(x)=
y´=
y= -общее решение
3. y´´=f(y,y´) не содержащие явно независ. переменных х. Вводится новая ф-яz(y) и тогда у´=z;y´´=
Подставив в исх. ур. полученное ур. z*z´y=f(y,z) в котором играет роль независ. перемен. у. Решив его, найдём z= Подставим равнение с разделяющимися переменными
- общее решение диф. ур.
Линейные однородные ДУ 2-ого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай действительных различных и кратных корней характеристического уравнения.
Определение.
Ур.вида у´´+ру´+qy=0, p,q- наз. линейн. однород. диф. ур. с постоянными коэффициентами. Будем иск.решение ур. у´´+ру´+qy=0 в соот. с методом Эйлера у=
y´=
y´´=
yи y´, y´´ подст. в ур. у´´+ру´+qy=0
–характеристическое ур.
1,Пусть корни
у1=
у2=
Т.к. определитель Вронского
= =
Решение -
2)
у1= – частное решение уравнения у´´+ру´+qy=0
Покажем, что в этом случае у2=х также явл. решением ур. у´´+ру´+qy=0
Т.к. у2= +х
у2=
Общее решение ур.
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!