Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале).

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале).

ДУ – ур-ния содержащие неизвестные функции или вектор функции под знаком производной или дифференциала.

1. dx/dt = -kx - уравнение радиоактивного распада, где k-постоянная распада, x- кол-во неразложившегося вещ-ва в момент времени t, dx/dt – скорость распада,которая пропорциональна кол-ву распада.

2. m*(d²r/dt²) = F(t,r,dr/dt) - ур-ние движения точки, массы m под влиянием силы F, зависящей от времени, положения точки радиус вектора и ее скорости.

3. ð²u/ ðx² + ð²u/ ðy²+ ð²u/ ðz² = 4πρ(x,y,z) - ур-ние Пуассона, которому удовлетворяет потенциал и (x,y,z) электростатического поля, ρ-плотность зарядов.

ДУ – ур-ние относительно неизвестной функции и ее производных различных порядков. Порядком ДУ называется порядок старшей производной входящей в это уровнение.

ДУ называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одной переменной. (пример 1,2)Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то ДУ называются ур-ниями с частными производными (пример 3).

Обыкновенные ДУ(ОДУ) n-ого порядка наз. ур-ния вида:F(x,y,y^`,y``,…yⁿ)=0, (1)

Где, x-независимая переменная, y=y(x) –зависимая от x-искомая ф-ия переменной x, y^`,y``,…yⁿ -производная, F() –заданная ф-ия своих аргументом,может не содержать несколько своих элементов,но должна зависить от y^n.

Если ур-ние (1) разрешимо относительно производной n-ого порядка, то можно представить: yⁿ = f(x, y,y^`,y``,…y^n-1). (2)

Ф-ия y=φ(x) определенная и непрерывная дифференцируемая n раз на (a,b) назыв. Решением ур-ния (1) в этом интервале если она обращает указанное ур-ние в тождество: F(x, φ(x), φ`(x),… φⁿ(x)) =0, для всех х принадлеж. интервалу (a,b).

 

 

Задача Коши для ДУ 1-ого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ 1-ого порядка.

Ур-ния вида: y`=f(x,y) имеет бесконечное число решений. Из множества решений можно выделить одно частное решение с помощью задания начального условия Коши: y(x₀)=y₀ , (x₀, y₀)?D (*)

Задача отыскания частного решения ДУ y`=f(x,y)удовл. нач.усл.(*) назыв задачей Коши для этого ур-ния с геометрической точки зрения задача Коши для ДУ y`=f(x,y) означает следующее: требуется из множества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку M₀(x₀, y₀)?D.

Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши). Дусть ф-ия f(x,y) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные в области D(df/dy), тогда найдется интервал (x₀-δ, x₀+δ) на котором существует единственное решение y= φ(x) ДУ y`=f(x,y) удовл. условиям y(x₀)=y_0.

Если условия теоремы выполнены и имеются 2 решения: y= φ₁(x) и y= φ₂(x) ур-ния y`=f(x,y) такие, что φ₁(x₀)= φ₂(x₀), то существует такой интервал (x₀-δ, x₀+δ) в каждой точке которого φ₁(x)= φ₂(x).

 

Геометрическая интерпретация ДУ 1-ого порядка. Метод изоклин.

Из ур-ния y`=f(x,y) следует что угловой коэффициент y` касательной к интегральной кривой в каждой точке (x,y)?D равен значению ф-ии f(x,y) в этой точке.

Таким образом, в каждой точке (x,y)?D можно указать направление касательной к интегральной кривой проходящей через точку (x,y).

Если через каждую точку кривой провести отрезок с коэфф. k=f(x,y) получится поле направлений области D.

Вывод. С геометрической точки зрения ДУ y`=f(x,y) опред. в обл. D плоскости XY поле направлений а решению этого ур-ния соотв. Кривая направлений к косательной к которой в каждой ее точке совпадает с направлением поля в этой точке. Эта задача решается графически и приближенно методом изоклин.

Изоклиной ДУ y`=f(x,y) называется кривая в каждой точке которой поле направлений имеет один и тот же наклон, т.е. семейство изоклин ДУ y`=f(x,y) определяется равенством: f(x,y) = k =tgα, где k-параметр, α-угол наклона поля направлений оси X.

Придавая параметру k близкое численное значение можно получить сеть изоклин с помощью которых приближенно строятся интегральные кривые ДУ y`=f(x,y).

 

 

Однородные ДУ 1-ого порядка

Функция f(x,y) называется однородной функцией n–го измерения, если при любом t выполняется условие: .

Дифференциальное уравнение y’=f(x,y) есть однородное, если функция f(x,y) является однородной функцией нулевого измерения.

Дифференциальное уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 однородное, если P(x,y) и Q(x,y) являются однородными функциями одного и того же измерения.

P(x,y)dx=-Q(x,y)dy; . Однородное уравнение всегда можно привести к виду и с помощью замены y/x=t однородное уравнение всегда приводится к уравнению с разделяющимися переменными (y/x=t; y=xt; y’=t+xt’).

Такие уравнения с помощью подстановки y = ux и y' = u'x + u, dy=udx+xdy, где u – новая переменная сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными u и х.

Пример. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения y`=2xy/(x²-y²). Проверим, является ли данное уравнение однородным:

 

т.е. является. Введем замену: . Подставим в исходное уравнение:

Разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение: . Найдем интеграл левой части уравнения:

. Найдем интеграл правой части уравнения: . Приравняем найденные результаты: . Используем свойства логарифмов и потенцируем равенство: , . Подставим вместо получим .Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид: , где С – произвольная постоянная.

 

7.Линейные ДУ 1-ого порядка (метод подстановки Бернулли, метод вариации произвольной постоянной Лагранжа).

ЛДУ - уравнения вида y’+P(x)y=f(x) (21)– первого порядка относительно у и у’. Где P(x) и f(x) заданные ф-ции, линейн относ неизв ф-ции и ее произв-й. Если f(x)=0, то ур-ние линейн однородн.

Для решения ЛДУ применяем замену(подстановка Бернулли): y=UV, тогда y’=U’V+UV’

U’V+UV’+P(x)UV=f(x)

V(U’+P(x)U)+UV’=f(x) (23)

Далее приравняем U’+P(x)U=0 – ур с раздел. переменными, его общ решен:

, подстав U(x) в 23: ;(поделим обе части на U(x) и проинтегрир): ; ;подставл найден знач v(x) и u(x) в выр

y(x)=U(x)V(x): y(x)= U(x)();

По методу вариац произв постоян неодн ду (21) ищется в виде: --реш. неоднор лду в котор C=C(x)-диференц ф-ция. подставив в 21 получим:

+p(x) =f(x)

=>

; ф-ция с(х) найдена подст в ф-лу 25 оконч получ общ реш ду 21:

 

y=

Уравнение Бернулли

урав вида y’+P(x)y=Q(x) yⁿ,n (26)

при n=0, оно превр в линейн ду, при n=1 в ур с раздел перемен.

y’+ y=0 –ур с разд перем

рассм случ когда ур Берн сведется к лин диф ур, для этого обе части рав-ва 26 раздел все эл-ты на yⁿ ; y 0; y=0 – явл решен ур Берн при n=0; yⁿ y’+P(x) y^1-n=f(x) (27). Введем замену перемен: y^1-n=z, z=z(x), z’=(1-n)y; y^-n y’= ; Ур 27 примет вид:

; 28 явл лин ду относ задан ф-ции z(x) его реш мож быть получ метод подстан Берн или вариац произв постоян.

 

Теорема.

Уравнение Р(х,у)dх + Q(x,y)dy=0 с непрерывной диф. функцией Р(х,у) и Q(x,y) является уравнением в полном дифференциале тогда и только тогда, когда выполняется условие: ðP/ðy=ðQ/ðx.
Доказательство.Необходимось:

пусть левая часть ур. Р(х,у)dх + Q(x,y)dy=0 есть полный дифференциал неявной ф-ииu(x,y)

Р(х,у)dх + Q(x,y)dy=

P(x,y)= Q(x,y)=

Продифференцируем 1-е соотношение P(x,y)= по у, а 2-е Q(x,y)= по х.

и

В силу равенства получаем: ðP/ðy=ðQ/ðx

Достаточность:

при выполнении усл. и Р(х,у)dх + Q(x,y)dy=0 есть полный дифференциал некоторой ф-ииu(x,y).

Интегрируя по х из P(x,y)= Q(x,y)= : u(x,y)=

Подберем ф-ю чтобы выполнялось 2-е соотношение. Для этого продифференцируем равенство по у и результат приравняем

Необходимо показать что первая часть равенства не зависит от х.

Интегрируем рав-во и получаем:

U(x,y)=C общее решение уравнения Р(х,у)dх + Q(x,y)dy=0

 

10.Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о существовании и единственности решения. Задача Коши. Приемы понижения порядка (на примерах ДУ 2-ого порядка).

F(x,y, y´…… =0 – наз. диф. ур. n-ого порядка. Будем предполагать, что оно разрешается относительно n-ой произ.

)

Теорема Коши.

Если ф-я и её частная производная от аргумента y,y´, определена и непрерывна в области R, содерж. точку()то в некоторой окрестности точки х0 существует ед. решение ур. )удавле. усл. y(x0)=y0; y´(x0)=y ; … (x0)= )

Это условие есть условие Коши.

Задача отыскания решения ур. ) удовл. этим усл. наз. задачей Коши для ур. )

В зад. Коши для диф. ур. 2-го порядка

В некоторых частных случаях д.у. высших порядков можно решать методом понижения порядка.

1. у´´=f(x) т.к. у´´=(у´)´, то интегр. левую и правую часть

у´=

y=

С1 и С2 – производные константы

2. у´´=f(x, y´), у´=z=z(x), y´´=z´, z´=f(x.y)

z= z(x)=

y´=

y= -общее решение

3. y´´=f(y,y´) не содержащие явно независ. переменных х. Вводится новая ф-яz(y) и тогда у´=z;y´´=

Подставив в исх. ур. полученное ур. z*z´y=f(y,z) в котором играет роль независ. перемен. у. Решив его, найдём z= Подставим равнение с разделяющимися переменными

- общее решение диф. ур.

 

Определение.

Ур.вида у´´+ру´+qy=0, p,q- наз. линейн. однород. диф. ур. с постоянными коэффициентами. Будем иск.решение ур. у´´+ру´+qy=0 в соот. с методом Эйлера у=

y´=

y´´=

yи y´, y´´ подст. в ур. у´´+ру´+qy=0

–характеристическое ур.

1,Пусть корни

у1=

у2=

Т.к. определитель Вронского

 

= =

 

Решение -

2)

у1= – частное решение уравнения у´´+ру´+qy=0

Покажем, что в этом случае у2=х также явл. решением ур. у´´+ру´+qy=0

Т.к. у2= +х

у2=

Общее решение ур.

 

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале).

ДУ – ур-ния содержащие неизвестные функции или вектор функции под знаком производной или дифференциала.

1. dx/dt = -kx - уравнение радиоактивного распада, где k-постоянная распада, x- кол-во неразложившегося вещ-ва в момент времени t, dx/dt – скорость распада,которая пропорциональна кол-ву распада.

2. m*(d²r/dt²) = F(t,r,dr/dt) - ур-ние движения точки, массы m под влиянием силы F, зависящей от времени, положения точки радиус вектора и ее скорости.

3. ð²u/ ðx² + ð²u/ ðy²+ ð²u/ ðz² = 4πρ(x,y,z) - ур-ние Пуассона, которому удовлетворяет потенциал и (x,y,z) электростатического поля, ρ-плотность зарядов.

ДУ – ур-ние относительно неизвестной функции и ее производных различных порядков. Порядком ДУ называется порядок старшей производной входящей в это уровнение.

ДУ называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одной переменной. (пример 1,2)Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то ДУ называются ур-ниями с частными производными (пример 3).

Обыкновенные ДУ(ОДУ) n-ого порядка наз. ур-ния вида:F(x,y,y^`,y``,…yⁿ)=0, (1)

Где, x-независимая переменная, y=y(x) –зависимая от x-искомая ф-ия переменной x, y^`,y``,…yⁿ -производная, F() –заданная ф-ия своих аргументом,может не содержать несколько своих элементов,но должна зависить от y^n.

Если ур-ние (1) разрешимо относительно производной n-ого порядка, то можно представить: yⁿ = f(x, y,y^`,y``,…y^n-1). (2)

Ф-ия y=φ(x) определенная и непрерывная дифференцируемая n раз на (a,b) назыв. Решением ур-ния (1) в этом интервале если она обращает указанное ур-ние в тождество: F(x, φ(x), φ`(x),… φⁿ(x)) =0, для всех х принадлеж. интервалу (a,b).